Už poznáme niekoľko matematických operácií, ktoré môžeme používať pri počítaní s mocninami. Naučili sme sa ako sčítavať, odčítavať, násobiť a deliť mocniny. Okrem toho vieme aj umocňovať podiel a súčin.

 

 

  1. Umocňovanie súčinu


Súčin umocníme tak, že každého člena súčinu umocníme daným exponentom.

 

(a . b)n = an . bn ; a, b є R, n є N


 

Pr. Dokážte, že daný vzťah platí pre a = 2, b = 4 , n = 3

 

(a . b)n = an . Bn


- v prvom kroku dosadíme dané hodnoty do ľavej strany, vynásobíme členy v zátvorke a nakoniec umocníme:

 

ĽS = (a . b)n = (2 . 4)3 = 83 = 512


- v ďalšom kroku dosadíme hodnoty do pravej strany vzťahu, najskôr poumocňujeme jednotlivé členy súčinu, a potom vynásobíme mocniny:


PS = an . bn = 23 . 43 = 8 . 64 = 512


- keď sa pozrieme na výsledky ľavej a pravej strany (512) potom zistíme, že v skutočnosti sa obe strany rovnajú, teda daný vzťah platí.

 

ĽS = PS



 

Pr. Vypočítajte:

 

  1. (3xy)2 = 32x2y2 = 9x2y2

  2. (15abc2) = 152a2b2(c2)2 = 225a2b2c4

  3. [5a3(-2ab)4]2 = [5a3.16a4 b4]2 = [80a7b4]2 = 6400 a14 b8

     

  • v príklade c) postupujeme zvnútra smerom von. Najprv odstránime vnútornú (oblú) zátvorku, následne upravíme výraz pomocou vzťahu na súčin mocnín an.am = an+m a nakoniec odstránime vonkajšiu (hranatú) zátvorku.


  1. (-a2b.c5)7 = - a14 b7c35

     

- tu si tiež musíme uvedomiť, ako umocňujeme znamienko mínus. Ak je párny exponent, znamienko mizne, ak je nepárny exponent, znamienko ostáva.



 

Pr. Zjednodušte:


  1. 4x2y2z2 = 4(xyz)2 = 22 (xyz)2 = (2xyz)2


- v tomto príklade použijeme daný vzťah v opačnom smere. Hľadáme exponent, ktorým sme umocnili všetky členy vo výraze


 

  1. 27a3b6c9 = 33 a3 (b2)6 (c3)3 = (3ab2c3)3

  2. -64 m5n5 = (-2mn)5



 

  1. Umocňovanie podielu


Podiel umocníme tak, že každého člena podielu umocníme daným exponentom.


(a : b)n = an : bn ; a, b є R, b ≠ 0, n є N,

 

(a / b)n = an / bn ; a, b є R, b ≠ 0, n є N.



 

Pr. Dokážte že daná vzťah platí, pre a = 4, b = 2 , n = 3

 

(a / b)n = an / bn


- v prvom kroku dosadíme dané hodnoty do ľavej strany, vydelíme členy v zátvorke a nakoniec umocníme:

 

ĽS = (a / b)n = (4 / 2)3 = 23 = 8


- v ďalšom kroku dosadíme hodnoty do pravej strany vzťahu, najskôr umocníme jednotlivé členy podielu, a potom vydelíme mocniny :


PS = an / bn = 43 / 23 = 64 / 8 = 8


- keď sa pozrieme na výsledky ľavej a pravej strany (8) potom zistíme, že v skutočnosti sa obe strany rovnajú, teda daný vzťah platí.

 

ĽS = PS



 

Pr. Vypočítajte:

 

  1. (3/5)5 = 35/ 55 = 243 / 3125

  2. (2x /3y)3 = (2x)3 / (3y)3 = 23x3 / 33y3 = 8x3 / 27y3

  3. (-5m : 2n)6 = 56m6 : 26n6 = 15625 m6 : 64n6

     

  • znamienko mínus môžeme po umocnení odstrániť, pretože máme párny exponent.



 

Pr. Zjednodušte

 

  1. 125 / 8 = 53 / 23 = (5/2)3

  2. x11y11 / z11 = (xy/z)11

  3. 45a5 / 910b5 = (4a/92b)5

     

  • v týchto príkladoch sme postupovali v opačnom poradí, hľadali sme exponent spoločný pre všetky členy výrazu.


 

 

 

Zopakujme si:

 

Vypočítaj:

 

 

  1. (ab)7 =

  2. (3xy)5 =

  3. (-5m2n)3 =

  4. (x/2y)4=

  5. (2a/4b)3=

  6. [(a-b)/(a+b)]7 =



Zopakujte si:
1. Aký vzťah platí pre mocninu súčinu?
2. Aký vzťah platí pre mocninu podielu?

Použitá literatúra:
Vlastné zdroje
Ondrej Šedivý- Matematika pre 8.r., 1.časť.