Prehľad geometrie – I – príklady

Vypracovala: Mária Martinkovičová

Príklady si najskôr skús vypočítať sám, potom si ich riešenie over. Zadania sú podobné príkladom, ktoré sa už na prijímacích pohovoroch, prevažne na gymnáziá, vyskytli.

Zadania:

1. Daný je pravouhlý trojuholník KLM s odvesnami k = 6 cm, l = 2,5 cm. Vypočítaj dĺžku všetkých ťažníc trojuholníka.

2. Priamka r pretína priamku p v bode M a rozdeľuje polrovinu na dva uhly (obr.). Uhol β´ je štyri krát väčší ako jemu susedný uhol β. Vypočítaj veľkosť oboch uhlov.

3. Daný je pravouhlý trojuholník OPR , pričom prepona r = 10 cm a jedna z odvesien – p = 8 cm. Vypočítajte obvod a obsah trojuholník OPR.

4. Aký je súčet uhlov γ a δ na obrázku?

5. Daný je trojuholník KLM, kde k = 10 cm, t_l = 12 cm, uhol pri vrchole M je pravý. Vypočítaj veľkosť ťažnice t_k. Výsledky priebežne zaokrúhľujte na desatiny.

Riešenia:

1.

k = 6 cm

l = 2,5 cm

m = ?

t_k, t_l, t_m = ?

dĺžku strany m vypočítame pomocou Pytagorovej vety:

Pre výpočet dĺžky ťažníc budeme tiež používať Pytagorovu vetu. Využijeme poznatok že ťažnica nám rozdelí stranu na dve polovice a tiež využijeme pravouhlosť trojuholníka.

Pri výpočte dĺžky ťažnice na stranu m – t_msi však nevystačíme len s Pytagorovou vetou a tým čo vieme o ťažniciach. Využijeme poznatok o strednej priečke trojuholníka:

2.

Pre veľkosti susedných uhlov β a β´ platí:

β + β´ = 180°

Vieme, že veľkosť uhlu β´ je 4x väčšia ako β:

β´ = 4 . 36

β´ = 144°

3.

Keďže ide o pravouhlý trojuholník, výška na stranu p = strane o, preto, ak vieme, že obsah trojuholníka vypočítame S = (p . v_p)/2 = (p . o)/2:

r² = p² +o²

o = 6 cm⟹

S = (p . o)/2

S = (8 . 6)/2

S = 48/2

S = 24 cm²

o(obvod) = o + p + r = 6 + 8 + 10

o(obvod) = 24 cm

4.

Vieme, že pre každý trojuholník platí, že súčet vnútorných uhlov = 180°, teda veľkosť uhlu α môžeme vypočítať:

α = 180 – (20 + 110)

Veľkosť vonkajšieho uhlu k uhlu α môžeme vypočítať:

γ = 180 – 50

γ = 130°

Rovnako veľkosť δ:

δ = 180 – 110

δ = 70°

Potom: γ + δ = 130 + 70 = 200°

Pri tomto príklade môžeme využiť aj to, že veľkosť vonkajšieho uhla trojuholníka je rovná súčtu veľkostí dvoch vnútorných uhlov pri ostatných vrcholoch, teda napr. γ = 110° + 20°.

5.

t_l²= k² + (½ l)²

(½ l)² = t_l² – k²

(½ l)² = 12² – 10²

(½ l)² = 6,6 cm ⟹l = 13,2 cm

t_k² = 5² +13,2²

Zopakujte si:

1. Aký je obvod trojuholníka z príkladu 5?

2. Vypočítaj obsah trojuholníka z príkladu 5.

Použitá literatúra:

Vlastné poznámky

Ištoková, A.: Riešené testy z matematiky na prijímacie skúšky na SŠ, Monitor 9, SPN, Bratislava, 2007

http://www.zkousky-nanecisto.cz/download/gymply-9-asdaw/9-trida.php