Funkcie II

Vypracovala: Mgr. Mária Martinkovičová, PhD.

Grafické riešenie sústavy dvoch lineárnych rovnic

Sústavy lineárnych rovníc môžeme riešiť i graficky, pričom platí: Sústava lineárnych rovníc:

•  Má jediné riešenie práve vtedy, ak grafy zodpovedajúcich lineárnych rovníc sú rôznobežné priamky

•  nemá žiadne riešenie práve vtedy, ak grafy zodpovedajúcich lineárnych rovníc sú rovnobežné priamky

•  má nekonečne veľa riešení práve vtedy, ak grafy zodpovedajúcich lineárnych funkcií sú totožné priamky

   

Postup pri grafickom riešení sústavy lineárnych rovníc je nasledovný: z oboch rovníc vyjadríme y a nakreslíme grafy príslušných lineárnych funkcií. Súradnice ich priesečníkov sú riešením sústavy lineárnych rovníc.

Príklad:

Grafickky riešte sústavu rovníc:

x + y = 5

vyjadríme si y: z 1. rovnice: y = -x + 5

1.rovnica:

priesečník s osou x: y = 0: 0 = -x + 5; x = 5; [5; 0]

2. rovnica:

Podobným postupom získame priesečníky s osami x, y: [4; -1]

Zostrojíme príslušné grafy (Obr. 1) a odčítame súradnice priesečníka grafov: x = 2; y = 3. Riešením je teda usporiadaná dvojica: [2; 3]

Obr. 1 Grafické zobrazenie riešenia sústavy lineárnych rovníc x + y = 5;

Vlastnosti funkcií:

O niektorých funkciách hovoríme, že majú niektoré spoločné vlastnosti - hovoríme o

• párnych a nepárnych funkciách

• periodických funkciách

• funkciách, ktoré sú zdola alebo zhora ohraničené

• extrémoch funkcií - maximálnych a minimálnych hodnotách

• monotónnych funkciách (rastúce, klesajúce, nerastúce a neklesajúce)

• prostých funkciách

• inverzných funkciách

   

   

   

Párne a nepárne funkcie

Majme funkciu f s definičným oborom D(f)), pre ktorú platí:

x ∈ D(f) a zároveň -x ∈ D(f)

Funkcia je párna práve vtedy ak pre každé x ∈ D(f) platí:

f(-x) = f(x)

Funkcia je nepárna práve vtedy, ak pre každé x ∈ D(f) platí:

f(-x) = -f(x)

Ak poznáme iba graf funkcie, tak to, či je funkcia párna alebo nepárna určíme podľa súmernosti grafu. Ak je graf funkcie súmerný podľa osy y, funkcia je párna. Ak je graf funkcie stredovo súmerný podľa bodu [0; 0], funkcia je nepárna.

Periodické funkcie

Periodickou nazývame funkciu práve vtedy, ak existuje také reálne číslo p≠0, že pre každé x ∈ D(f) je aj x ± p ∈ D(f) a platí (p = perióda funkcie):

Kvadratické funkcie

Sú všetky funkcie typu:

f: y = ax² + bx + c, kde a≠0, a, b, c ∈ R

V prípade, že použijeme koeficienty a = 1, a b = c = 0, dostaneme kvadratickú funkciu

f: y = x

Takúto funkciu voláme základná kvadratická funkcia.

Grafom kvadratickej funkcie je parabola, ktorá je súmerná podľa osi rovnobežne so súradnicovou osou y. Ak je v predpise funkcie a>0, tvar paraboly je U, ak je a<0, parabola bude mať tvar ∩.

Obr. 2 znázorňuje graf kvadratickej funkcie y = x² + 4x + 3. Vrchol paraboly je tu v bode [-2; -1] a v tomto prípade je minimom funkcie.

Určiť súradnice vrcholu paraboly môžeme:

1. úpravou na štvorec: využijeme vzťah (a ± b)² = a² ± 2ab + b² upravený na tvar:

(a ± b)² - b² = a² ± 2ab

2. ak vieme, že x -ová súradnica vrcholu je -b/2a , y - ovú súradnicu dopočítame dosadením do predpisu funkcie

V[-b/(2a); f(-b/(2a))], kde (V = vrchol paraboly)

Obr. 2: Graf kvadratickej funkcie: y = x² + 4x + 3

Priesečník s osou y P_y môžeme určiť týmito spôsobmi:

1. predpis kvadratickej funkcie si upravíme na tvar y = ax² + bx +c a priesečník s osou y má potom súradnice: P_y = [0; c]

2. y –ovú súradnicu priesečníka zistíme tak, že dosadíme nulu za x do predpisu kvadratickej funkcie. x-ová súradnica priesečníka s osou y je vždy 0.

    

Otázky:

1. Narysuj (vo vhodne zvolenej sústave) grafy funkcií: a) y = 1/2x; b) y = 1/2x + 2; c) y = 0,5x – 1.

2. Ako určíme vrchol paraboly?

    

Použitá literatúra:

Zdroje obrázkov:

http://www.keymath.com/x7568.xml