Kruh, kružnica I

Vypracovala: Mgr. Mária Martinkovičová, PhD.

Kruh definujeme ako množinu bodov v rovine, ktorých vzdialenosť od pevného bodu – t.j. od stredu kružnice, je menšia alebo rovná pevne danému kladnému číslu, ktorý nazývame polomer.

Hranica kruhu je tvorená kružnicou, ktorá je podmnožinou kruhu. Plocha ohraničená kružnicou, vrátane jej samej, je kruh.

Polomer kruhu (kružnice) je dĺžka úsečky, ktorej jeden koncový bod leží na kružnici, resp. hranici kruhu. Ďalší koncový bod tejto úsečky leží v strede kruhu (kružnice).

Priemer kruhu (kružnice) je dvojnásobok polomeru danej kružnice (kruhu) – polomer je teda polovica priemeru.

Pre výpočet obvodu kruhu, dĺžky kružnice a obsah kruhu platia tieto vzťahy (r = polomer, d = priemer kružnice, π = Ludolfovo číslo – 3,14).

Obvod kruhu, dĺžka kružnice:

Obsah kruhu:

Vzájomná poloha kružnice a priamky je závislá od vzdialenosti stredu kružnice od priamky p. Stred kružnice označujeme „S“;, kružnicu „k“; priamku „p“, polomer kružnice „r“.

Poznáme tri typy priamok:

•  nesečnica kružnice – nemá s kružnicou žiadny spoločný bod

•  dotyčnica kružnice – má s kružnicou spoločný bod

•  sečnica kružnice – má s kružnicou spoločný bod

Nesečnica kružnice

Nesečnica (obr. 1) je priamka, ktorej vzdialenosť „d“ od stredu kružnice je väčšia ako polomer „r“ kružnice „k“. Takáto priamka kružnicu nepretína.

Obr. 1: Nesečnica kružnice (vzdielenosť bodov P a S je väčšia ako polomer kružnice.

Dotyčnica kružnice

Dotyčnica kružnice (obr. 2) je priamka, ktorej vzdialenosť od stredu kružnice je rovnako veľká, ako je veľký polomer kružnice r. Má s kružnicou spoločný jeden bod – tzv. bod dotyku.

Sečnica kružnice

Sečnica kružnice (obr. 3) je priamka, ktorá má od stredu kružnice vzdialenosť menšiu, ako je veľkosť polomeru kružnice. Sečnica a kružnica majú dva rôzne spoločné body, ktoré voláme priesečníky.

Tetiva kružnice - tetivou kružnice (obr. 3) nazývame úsečku, ktorá pretína kružnicu v dvoch bodoch (na obr. 3 A, B), ktoré sú zároveň aj koncovými bodmi tejto úsečky. Os tetivy prechádza stredom kružnice.

Ak tetiva prechádza stredom kružnice, hovoríme o priemere kružnice (na obr. 3 je to úsečka /CA/.

Talesova kružnica je množina všetkých vrcholov pravých uhlov, ktorých ramená prechádzajú dvoma danými bodmi. Je to kružnica zostrojená nad úsečkou určenou danými bodmi ako priemerom s výnimkou daných bodov.

Kružnicový oblúk AB – časť kružnice k (S,r) - prienik kružnice a polroviny s hraničnou priamkou AB, kde body A, B patria kružnici.

Stredový uhol, ktorý prislúcha k väčšiemu kružnicovému oblúku AB = nekonvexný uhol ASB.

Stredový uhol, ktorý prislúcha k menšiemu kružnicovému oblúku AB= konvexný uhol ASB.

Platí:

V každej kružnici je stredový uhol dvojnásobkom ľubovoľného obvodového uhla prislúchajúceho k tomu istému kružnicovému oblúku.

Každé dva obvodové uhly prislúchajúce k tomu istému kružnicovému oblúku sú zhodné.

Pre výpočet dĺžky kružnicového oblúka (prislúchajúceho stredovému uhlu alfa) použijeme tento vzťah:

Obr. 5: Kružnicový oblúk

Kruhový odsek – časť kruhu, prienik kruhu a polroviny. Hraničná priamka polroviny je sečnicou kruhu.

Obr. 6: Kruhový odsek

Kruhový výsek je prienik kruhu a uhla, ktorého vrcholom je stred kruhu.

Obr. 7: Kruhový výsek

Pre výpočet obsahu kruhového výseku použijeme vzťah:

Otázky:

1.Vysvetli rozdiel medzi kruhovým výsekom a kruhovým odsekom.

2. Čo je to „Talesova kružnica“?

Použitá literatúra:

http://sk.wikipedia.org/wiki/Kruh

Koreňová, L.: Zvládni prijímacie skúšky z matematiky na stredné školy ľahšie a úspešnejšie, Aktuell, BA, 2007

Zdroje obrázkov:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/stepan_kurka_dp/kruznice.php