Vypracovala: Mária Martinkovičová
Medzi tzv. zhodné zobrazenia patrí osová súmernosť a stredová súmernosť. Pod pojmom osová súmernosť (zrkadlový obraz) určená osou o, rozumieme také zhodné zobrazenie v rovine, ktoré k bodom priamky o priradí tie isté body a k bodu A (na obr. 1 označený ako E) ktorý neleží na priamke o priradí bod A’.
Súčasne platí pre vzdialenosť |A,o|=|A’,o|a pre úsečka |A,A’| že je kolmá na priamku o.
Osová súmernosť teda uchováva vzdialenosti i uhly.
Obr. 1: Os súmernosti
Obrazom útvaru X v osovej súmernosti danej osou o rozumieme útvar X´ obsahujúci práve tie body roviny, ktoré sú obrazmi bodov útvaru X.
Útvary X a X´ sú zhodné. Voláme ich osovo súmerné, resp. súmerne združené podľa osi. Osovo súmerný útvar sa skladá z dvoch zhodných častí oddelených priamkou o – osou súmernosti.
Útvar je osovo súmerný podľa osi o, ak jeho obraz v osovej súmernosti danej osou o splýva so vzorom, teda, ak je v nejakej osovej súmernosti sám sebe obrazom. Os takejto súmernosti voláme os objektu (útvaru). Body, ktoré ležia na osi súmernosti, nazývame samodružnými bodmi. Potom priamky, kolmé k osi súmernosti voláme samodružné priamky.
Príkladom osovo súmerných rovinných objektov sú všetky pravidelné mnohouholníky, pričom počet rôznych psí súmernosti zodpovedá počtu vrcholov mnohouholníka. Ďalšími objektmi sú napr. kruh (nekonečne veľa osí súmerností), rovnoramenný trojuholník, ...Z priestorových útvarov sú osovo súmerné napr. kocka, kužeľ, guľa.
Ak je nejaký útvar osovo súmerný, znamená to, že sa skladá z dvoch zhodných častí oddelených priamkou - osou súmernosti.
O útvare U, že je osovo súmerný podľa osi o, hovoríme, ak jeho obraz U´ v osovej súmernosti danej osou o splýva s útvarom U.
Pod stredovou súmernosťou (zrkadlovým obrazom) určenou bodom S rozumieme je také zhodné zobrazenie v rovine, alebo v trojrozmernom priestore, ktoré bodu S (stredu zobrazenia) priradí ten istý bod, a k bodu A ktorý neleží v bode S priradí bod A’.
Súčasne platí: vzdialenosť
|A,S|=|A’,S| ; úsečka |A,A’| leží na priamke prechádzajúcej stredom (bodom S). Stredová súmernosť je jedným zo zhodných zobrazení v priestore alebo v rovine – zachováva vzdialenosť a uhly.
Stredovo súmerný je taký objekt (v rovine, v priestore alebo na priamke) vtedy, ak je v nejakej stredovej súmernosti obrazom samého seba.
Stred stredovej súmernosti nazývame stred súmernosti objektu.
Popri vzdialenosti zachováva stredová súmernosť v rovine aj orientáciu. Napríklad, ak bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, tak poradie ich obrazov v stredovej súmernosti je opäť v smere hodinových ručičiek. Toto však neplatí pre osovú súmernosť.
V rovine je stredová súmernosť so stredom v bode S zhodná s otočením o 180⁰ podľa stredu súmernosti S. V priestore nemá význam hovoriť o otočení okolo bodu, iba okolo osi. Stredovo-súmernými objektmi v priestore sú napr. kocka, guľa, valec, s rovinných útvarov sú to napr. úsečka, obdĺžnik, štvorec,.. stredovo-nesúmernými útvarmi sú napr. mnohouholníky s nepárnym počtom vrcholov, ihlan alebo napr. kužeľ.
Obr.: Stredová súmernosť (stred = S)
Príklad 1: Zostrojme v stredovej súmernosti obraz K´L´ úsečky KL.
Riešenie: Obrazom úsečky bude v stredovej súmernosti úsečka s ňou zhodná a rovnobežná.
KL ǁA´B´
KL ≅ K´L´
Príklad 2: Zostrojme útvar k štvoruholníku ABCD, ktorý bude k nemu súmerný podľa stredu S.
Riešenie:
Otázky a úlohy:
-
Nájdi os súmernosti kosoštvorca, kosodĺžnika a trojuholníka.
-
Zostroj útvar, ktorý bude súmerný podľa stredu súmernosti k písmenu M.
Použitá literatúra:
http://sk.wikipedia.org/wiki/Osov%C3%A1_s%C3%BAmernos%C5%A5 http://sk.wikipedia.org/wiki/Stredov%C3%A1_s%C3%BAmernos%C5%A5 sci.gamtt.sk
Zdroj obrázkov:
http://www.bymath.com/studyguide/geo/sec/geo22.htm http://www-cdf.fnal.gov/~bishai/research.html
http://maths.cz/clanky/stredova-soumernost.html