Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová
Def: Absolútnou hodnotou reálneho čísla a nazývame číslo |a| , pre ktoré platí:
-
ak a ≥ 0, tak |a| = a
-
ak a ≤ 0, tak |a| = -a
Z geometrického hľadiska je možné absolútnu hodnotu definovať ako vzdialenosť bodu a od počiatku na číselnej osi.
Číslo |a-b| sa rovná vzdialenosti bodov, ktoré sú obrazom čísel a, b na číselnej osi.
Vlastnosti absolútnej hodnoty pre všetky reálne čísla a, b
-
|a| ≥ 0
-
|a| = |-a|
-
|a.b| = |a| . |b|
-
|a/b| = |a| / |b|
-
|a+b| ≤ |a| + |b| (trojuholníková nerovnosť)
-
|a-b| ≥ |a| - |b|
-
|a| = √a2
-
|an| = |a|n
-
|a/b| = |a| / |b|, b ≠ 0
Metódy riešenia úloh s absolútnou hodnotou (výrazy, rovnice, nerovnice, funkcie, ....) vychádzajú z definície absolútnej hodnoty.
Pri riešení rovníc a nerovníc a úpravách výrazov s absolútnou hodnotou používame metódu nulových bodov.
Kroky riešenia:
K1. Určíme nulové body x0 є R, pre ktoré sa absolútne hodnoty vystupujúce v príklade rovnajú 0.
K2. Nulové body rozdelia množinu R (číselnú os) na intervaly (podmnožiny) a úlohu riešime ďalej v týchto intervaloch. Zjednotením intervaloch vznikne R, resp. daná množina.
K3. Na každom intervale určíme dosadením vnútorného bodu znamienko výrazu vystupujúceho v absolútnej hodnote a absolútne hodnoty nahradíme výrazmi podľa definície absolútnej hodnoty.
K4. Riešenie je vhodné zapisovať do tabuľky. Výsledné riešenie je zjednotením riešení na jednotlivých intervaloch.
K5. Ak sa v príklade nachádza iba 1 absolútna hodnota, úlohu riešime tzv. diskusiou v dvoch krokoch.
Metódu nulových bodov si ukážeme na niekoľkých príkladoch.
Rovnice s absolútnou hodnotou
-
Rovnica s jednou absolútnou hodnotou
| x-3| = 5
K1. Určenie nulových bodov (NB)
x – 3 = 0
x = 3 NB
K2. Rozdelenie množiny R na dva intervaly: (-∞, 3) a ‹3, ∞ )
K3 – K4
|
|
(-∞, 3) |
‹3, ∞ ) |
||
|
| x-3| |
- |
-x + 3 |
+ |
x - 3 |
–x + 3 = 5 x – 3 = 5
-x = 2 x = 8
x = 2
K1 = {2} K2 = {8}
K = K1 U K2 = {2; 8}
-
Rovnica s viacerými absolútnymi hodnotami
| x + 1| + | x - 3| - 2| x| = 3
K1. NB
x + 1 = 0 x – 3 = 0 x = 0
x = -1 x = 3
K2. intervaly na R
(-∞, -1); ‹-1, 0); ‹0, 3), ‹3, ∞)
K3, K4
|
|
(-∞, -1) |
‹-1, 0) |
‹0, 3) |
‹3, ∞) |
||||
|
| x + 1| |
- |
-x-1 |
+ |
x+1 |
+ |
x+1 |
+ |
x+1 |
|
| x - 3| |
- |
-x+3 |
- |
-x+3 |
- |
-x+3 |
+ |
x-3 |
|
| x| |
- |
-x |
- |
-x |
+ |
x |
+ |
x |
-x-1-x+3-2(-x) = 3 x+1-x+3-2(-x) = 3 x+1-x+3-2x = 3 x+1+x-3-2x = 3
-1 = 3 2x = -1 -2x = -1 0x = 5
Ø x = - ½ x = ½ Ø
K1 = Ø K2 = {- ½} K3 = { ½} K4 = Ø
K = K1 U K2 U K3 U K4 = {- ½, ½}
-
Nerovnica s absolútnymi hodnotami
| x | - | x - 1| ≥ 0
K1. NB
x = 0 x – 1 = 0
x = 1
K2. intervaly
(-∞, 0›; ‹0, 1›; ‹1, ∞)
K3, K4
|
|
(-∞, 0› |
‹0, 1› |
‹1, ∞) |
|||
|
| x | |
- |
-x |
+ |
x |
+ |
x |
|
| x - 1| |
- |
-x+1 |
- |
-x+1 |
+ |
x-1 |
-x – (-x+1) ≥ 0 x – (-x+1) ≥ 0 x – (x-1) ≥ 0
-1 ≥ 0 2x ≥ 1 1 ≥ 0
Spor x ≥ ½ ‹½, 1› ‹1, ∞)
K = ‹½, 1› U ‹1, ∞) = ‹½, ∞)
-
Graf funkcie s absolútnymi hodnotami
f: y = | x - 1| - | 2 - x | + 1, x є R
K1. NB
x – 1 = 0 2 – x = 0
x = 1 x = 2
K2. intervaly
(-∞, 1›, ‹1, 2›, ‹2, ∞)
K3, K4
|
|
(-∞, 1› |
‹1, 2› |
‹2, ∞) |
|||
|
| x - 1 | |
- |
-x+1 |
+ |
x-1 |
+ |
x-1 |
|
| 2 - x| |
+ |
2-x |
+ |
2-x |
- |
-2+x |
Funkcia f je zjednotením funkcií v jednotlivých intervaloch. f = f1 U f2 U f3 , kde
f1: y = -x+1-(2-x)+1 = 0 f2: y = x-1-(2-x)+1 = 2x-2
f3: y = x-1-(-2+x)+1 = 2
-
funkcie na seba nadväzujú v nulových bodoch a grafom je lomená čiara.
Použitá literatúra:
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA
vlastné poznámky
www.wikipedia.org