Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová
Rovnice (Nerovnice) s parametrom obsahujú okrem neznámych (x, y, ...) i ďalšie premenné, ktoré nazývame parametre (p, q, a, ,..). Je to zápis množiny všetkých rovníc, ktoré by sme získali dosadením všetkých hodnôt, ktoré môžu parametre nadobudnúť.
Napr.: 2xp = 3x + 4p; , x- neznáma, p- parameter, p є R.
Riešiť rovnicu (nerovnicu) s parametrom p znamená priradiť každej prípustnej hodnote parametra množinu koreňov, ktoré pre ňu získame.
Pri riešení lineárnej rovnice s parametrom rovnicu postupne upravujeme v závislosti od hodnôt parametra. Výsledok zhrnieme do tabuľky.
-
Lineárna rovnica s parametrom
Postup:
K1. Rovnicu pomocou ekvivalentných a dôsledkových úprav upravíme na tvar
x . A(p) = B.(p); kde x - neznáma, A (p), B (p) – výrazy s parametrom p bez neznámej x
K2. Riešíme dve možnosti:
2a. A(p) = 0
Pre parameter, ktorý spĺňa túto podmienku, rovnicu vyriešime
2b. A(p) ≠ 0
Rovnicu môžeme deliť A(p), a dostaneme x = B(p) / A(p)
K3. Ak použijeme neekvivalentnú úpravu, skúška je nevyhnutnou súčasťou riešenia. Pri určení koreňov sledujeme definičné obory premennej a parametra.
K4. Riešenie rovnice je zjednotením všetkých možných prípadov, ktoré získame diskusiou nulových a nenulových hodnôt výrazov A(p)
Pr: Riešte lineárnu rovnicu s parametrom podľa predchádzajúcich krokov.
t2x – x = t – 1
K1.
x(t2 – 1) = t – 1
K2
2a. 2.
t2 – 1= 0 t2 – 1≠ 0
(t-1)(t+1)=0 (t-1)(t+1) ≠ 0
t =1, t = -1 t ≠1, t ≠ -1
K3.
t = 1 t = -1 t ≠ ± 1
x(1-1) = 1-1 x(1-1) = -1 -1 x = (t-1) / (t2–1)
0x = 0 0x = -2 x = 1 / (t + 1)
x є R nemá riešenie
K4.
|
t = 1 |
K = R |
|
t = -1 |
K = Ø |
|
t ≠ ± 1 |
K = {1 / (t + 1)} |
-
Kvadratická rovnica s parametrom
Postup:
K1. Zistíme, pre ktoré hodnoty parametra rovnica nie je kvadratická, ale lineárna. (výraz pri kvadratickom člene sa rovná 0) a vyriešime ju.
K2. Pre hodnoty parametra, pre ktoré je rovnica kvadratická, vypočítame diskriminant a určíme, pre ktoré hodnoty parametra má rovnica v R dva korene, dvojnásobný koreň alebo nijaký koreň.
Pr: Riešte kvadratickú rovnicu s parametrom podľa predchádzajúcich krokoch
(p + 5)x2 – 2px + (p – 1) = 0
K1.
p + 5 = 0
p = -5
-2 . (-5) x + (-5 – 1) = 0
10x – 6 = 0
x = 3/5
K2
p ≠ -5
D = 4p2 -4(p + 5)(p – 1) = 20 – 16p = 4(5 – 4p)
D < 0
4(5 – 4p) < 0
p > 5/4
p є (5/4, ∞)
- v množine R nemá korene
- v množine C má 2 komplexne združené korene
D = 0 - jeden (dvojnásobný) reálny koreň
4(5 – 4p) = 0
p = 5/4
(p + 5)x2 – 2px + (p – 1) = 0
(5/4 + 5)x2 – 2.5/4x + (5/4 – 1) = 0
.
.
x = 1/5
D > 0 - 2 reálne rôzne korene
4(5 – 4p) > 0
p < 5/4
p є (-∞,-5) U (-5, 5/4)
(p + 5)x2 – 2px + (p – 1) = 0
.
.
x1,2 = [2p ± √(4(5 – 4p))] / (2p + 10)
|
p = -5 |
K = { 3/5} |
|
p = 5/4 |
K = { 1/5} |
|
p є (5/4, ∞) |
K = Ø |
|
p є (-∞,-5) U (-5, 5/4) |
K = {[2p ± √(4(5 – 4p))] / (2p + 10)} |
-
Lineárna nerovnica s parametrom
Postup:
K1. Nerovnicu upravíme na tvar x . A(p) > B(p) resp. x . A(p) ≥ B(p)
x . A(p) < B(p) resp. x . A(p) ≤ B(p)
K2. V diskusii rozlišujeme tieto prípady: A(p) = 0, A(p) > 0, A(p) < 0
Pr: Riešte lineárnu nerovnicu s parametrom podľa predchádzajúcich krokoch
px + x ≤ p2 – 1, p є R
K1.
x . (p + 1) ≤ p2 – 1
K2.
p + 1 = 0 p + 1 < 0 p + 1 > 0
p = -1 p < - 1 p > - 1
p є (-∞,-1) p є (-1, ∞)
nerovnicu delíme nerovnicu delíme
záporným výrazom kladným výrazom
0x ≤ 0 x ≥ p – 1 x ≤ p – 1
|
p = -1 |
K = R |
|
p є (-∞,-1) |
K = ‹ p – 1, ∞) |
|
p є (-1, ∞) |
K = (-∞, p - 1› |
Použitá literatúra:
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA
Vlastné poznámky