Sčitovanie a odčitovanie mocnín

Mocninu aⁿ vyjadrujeme ako súčin n rovnakých čísel a

Mocniny tak ako iné čísla vieme sčítavať aj odčítavať. Musíme si ale zapamätať jednu jedinú vec, a to že:

Sčítavať a odčítavať môžeme iba tie mocniny, ktoré majú rovnaký základ a rovnaký exponent.

 

 

1. Sčítanie mocnín

a^x + bⁿ + a^x + b^m + bⁿ = a^x + a^x + bⁿ + bⁿ + b^m = 2. a^x + 2. bⁿ + b^m

• vidíme, že v príklade máme 2 výrazy so základom a a s rovnakým exponentom x a tiež 2 výrazy so základom b a rovnakým exponentom n a jeden výraz so základom b a exponentom m. Spočítať teda vieme výrazy so základom a a výrazy so základom b ale iba tie, ktoré majú exponent n.

Pr: Zjednodušte nasledujúce výrazy:

a) 2x³ + 5x² + 3x³ + 3x² = 2x³ + 3x³ + 5x² + 3x² = 5x³ + 8x²

 

• ako prvé si dáme k sebe výrazy s rovnakým základom a exponentom- teda x³ a x² a následne ich spočítame. Nakoniec vidíme, že 5x³ a 8x² nemôžeme spočítať aj napriek tomu, že majú rovnaký základ, nemajú rovnaký exponent.

 

b) 5 + 3a⁷ + 11b⁹ + 8b⁹ + 7a⁷ + 11 + 5a⁷ = (5 + 11) + (3a⁷ + 7a⁷ + 5a⁷ ) + (11b⁹ + 8b⁹ ) = =16 + 15a⁷ + 19b⁹

- v príklade si podčiarkneme výrazy s rovnakým základom a rovnakým exponentom, potom mocninu opíšem a spočítam ich koeficienty. Po prepočítaní niekoľkých príkladov, vieme takéto jednoduché príklady riešiť v hlave tak, že prostredný krok vynecháme.

II. Odčítanie mocnín

 

3a^x - 5bⁿ - 2a^x - 3bⁿ = 3a^x - 2a^x - 5bⁿ - 3bⁿ = a^x - 8bⁿ

 

• na vzorovom príklade si môžeme všimnúť, že podobne ako pri sčítavaní i tu - pri odčítavaní dávame k sebe iba tie výrazy, ktoré majú rovnaký základ a aj exponent. Potom mocninu opíšeme a koeficienty odčítame.

Pr: Zjednodušte nasledujúci výraz:

5m³ – 21m⁴ – 7m³ = 5m³– 7m³– 21m⁴ = -2 m³– 21m⁴

 

• v tomto príklade sa síce nachádzajú rovnaké základy – m, ale rôzne exponenty, teda odčítať môžeme tie ktoré majú rovnaké exponenty- m³.

Pr: Zjednodušte nasledujúce výrazy:

• v nasledujúcich príkladoch si ukážeme súčasne sčítavanie aj odčítavanie mocnín.

a) 12x⁵ + 10x⁴ -7x³ +2x⁵ -3x⁴ +5x⁵ =

• tento príklad môžeme riešiť dvomi spôsobmi:

 

1. rozpisovaním jednotlivých krokov až po konečný výsledok

12x⁵ + 10x⁴ -7x³ +2x⁵ -3x⁴ +5x⁵ = 12x⁵ +2x⁵ + 5x⁵ + 10x⁴ -3x⁴ -7x³ = (12 + 2 + 5) x⁵ + (10 – 3) x⁴ -7x³ = 19 x⁵ + 7 x⁴ – 7x³

 

2.         ri   ešením spamäti. Tu si mus    íme pamätať, že sčítavame a odčítavame výrazy s rovnakým základom a rovnakým exponentom, teda 2. a 3. krok robíme v hlave. Riešenie bude vyzerať nasledovne

12x⁵ + 10x⁴ -7x³ +2x⁵ -3x⁴ +5x⁵ = 19 x⁵ + 7 x⁴ – 7x³

b) 36a² – 64ab + 25b² – 16a² + 27ab + 9b² =

1. rozpisovanie:

 

36a² – 64ab + 25b² – 16a² + 27ab + 9b² = 36a² – 16a² + 25b² + 9b² – 64ab + 27ab = 20 a² + 34 b² -37ab

 

2. riešenie spamäti:

36a² – 64ab + 25b² – 16a² + 27ab + 9b² = 20 a² + 34 b² -37ab

 

 

    c) 11x² – (-6x) + (-5x²) – (2x + 3x²) =

 

V tomto príklade musíme brať ohľad na riešenie výrazov so zátvorkami, kde je potrebné počítať s tým, že mínus pred zátvorkou mení znamienko v zátvorke. Preto ako prvé musíme odstrániť zátvorky a potom už opäť môžeme riešiť buď rozpisovaním alebo spamäti.

11x² – (-6x) + (-5x²) – (2x + 3x²) = 11x² + 6x - 5x² – 2x - 3x² =

1. rozpisovaním:

 

11x² – (-6x) + (-5x²) – (2x + 3x²) = 11x² + 6x - 5x² – 2x - 3x² = 11x² - 5x² - 3x² + 6x – 2x = 3x² + 4x

2. spamäti

 

11x² – (-6x) + (-5x²) – (2x + 3x²) = 11x² + 6x - 5x² – 2x - 3x² = 3x² + 4x

 

 

d) 1,25k² + 0,36k – 8,06k³ – 1,27k⁴ =

 

Keď sa pozorne zadívame na tento príklad, vidíme, že síce základy sú rovnaké, ale všetky exponenty sú rôzne. Preto daný príklad nevieme vypočítať a zadanie je hneď aj riešením.

Zopakujme si:

1. Zjednoduš dané výrazy:

 

4a² – b – (3a² – b) + 7a² + 5=

0,21k⁴ – 1,4k³ – 0,21k³ – 12k⁴=

-76ab² – (-32a²) + 21ab² – 40a²b + 2ab=

8d² - 7e + 11d² + 8e=

4y - [5y² – (13y² – 6y)] – (2y – 3y²) =

6q – (13t³ – 5q) - [8t³ – (2q - 21t³)] =

 

Zopakujte si:

1. Aká podmienka platí pre sčítavanie a odčítavanie mocnín?

Použitá literatúra:

Vlastné zdroje
Ondrej Šedivý- Matematika pre 8.r., 1.časť.