Násobenie a delenie mocnín s rovnakým základom

Okrem sčítavania a odčítavania mocnín. Môžeme mocniny aj násobiť a deliť. Pri týchto matematických operáciách ale platia iné podmienky.

 

1. Násobenie mocnín

Pre násobenie mocnín musí platiť, že dané mocninové výrazy majú rovnaký základ. Exponenty môžu byť rôzne. Preto hovoríme o násobení mocnín s rovnakým základom. Pre takéto násobenie platí vzťah:

 

a^m . aⁿ = a^m+n , m, n є N

Mocniny s rovnakým základom násobíme tak, že základ umocníme súčtom exponentov.

 

 

Pr. Upravte nasledujúce výrazy

 

1. 2² . 2³ =

    

• tento príklad vieme vypočítať aj vyčíslením mocnín, keďže vieme že 2² je 4 a 2³ je 8, potom po dosadení do príkladu dostaneme výsledok

 

2² . 2³ = 4 . 8 = 32

• a teraz ho vypočítame pomocou vzorca pre násobenie mocnín s rovnakým základom, keďže v príklade je rovnaký základ 2

 

2² . 2³ = 2²⁺³ = 2⁵

Pre kontrolu vyčíslime 2⁵ a zistíme že sa to rovná 32. Takže vidíme že uvedený vzťah naozaj platí.

 

 

Nasledujúce príklady už riešime iba pomocou vzorca, a to buď rozpisovaním riešenia alebo spamäti.

 

 

2. x¹¹ . y³ . x⁹ . Y²³ =

    

1. rozpísaním

 

x¹¹ . y³ . x⁹ . y²³ = x¹¹ . x⁹. y³ . y²³ = x¹¹⁺⁹ . y³⁺²³ = x²⁰ . Y²⁶

• pri rozpisovaní si najprv dáme k sebe výrazy s rovnakým základom, potom základ opíšeme a exponenty spočítame

 

2. spamäti

 

x¹¹ . y³ . x⁹ . y²³ = x²⁰ . y²⁶

• pri počítaní spamäti si druhý a tretí krok urobíme v hlave a hneď dostaneme výsledok.

Po prepočítaní niekoľkých príkladov budete takéto príklady riešiť spamäti.

 

 

3. (a-4)⁴ . (a-4)⁹ = (a-4)⁴⁺⁹ = (a-4)¹³

 

4. 4.x²y⁵z⁸ . 5x⁶y²z³ = 20x²⁺⁶y⁵⁺²z⁸⁺³ = 20x⁸y⁷z¹¹

 

 

5. (7-4a)^b . (-4a+7)^2+b = (7-4a)^b+2+b = (7-4a)^2b+2

    

• keďže pre sčítanie platí komutatívny zákon, potom prvá a druhá zátvorka sú totožné, iba s poprehadzovanými členmi, preto môžeme hovoriť o rovnakom základe 7-4a

 

 

6. 8x³ . 4y³ =

 

• v tomto príklade aj napriek rovnakým exponentom, nemáme rovnaký základ, preto dané mocniny nevieme vynásobiť. Môžeme vynásobiť iba čísla:

 

8x³ . 4y³ = 32x³ y³

 

 

2. Delenie mocnín

Pre delenie mocnín musí platiť, že dané mocninové výrazy majú rovnaký základ. Exponenty môžu byť rôzne. Preto hovoríme o delení mocnín s rovnakým základom. Pre takéto delenie platí vzťah:

 

1. ak m > n, a^m : aⁿ = a^m-n , m, n є N; a ≠ 0

2. ak m < n, a^m : aⁿ = 1 / a^m-n , m, n є N; a ≠ 0

Mocniny s rovnakým základom delíme tak, že základ umocníme rozdielom exponentov.

 

Pr. Upravte nasledujúce výrazy

1. 3³ : 3² =

 

• ak si vyčíslime dané mocniny dostávame 27 : 9 = 3, teda 3³ : 3² = 3

• ak budeme postupovať podľa vzorca, potom dostaneme

3³ : 3² = 3^3-2 = 3¹ = 3

Podľa toho vidíme, že vzorec naozaj funguje a preto budeme postupovať podľa neho.

 

a) 12a³ : 6 a = 2 .a^3-1 = 2a²

 

b) (5x - 3b)⁴ : (5x - 3b)² = (5x - 3b)^4-2 = (5x - 3b)²

 

c) 8a⁶b : 4a⁷b⁶ =

 

• rozpísaním

 

8a⁶b : 4a⁷b⁶ = 8:4 a^6-7b^1-6 = 2a^-1b^-5 = 2/ab⁵

 

• spamäti

 

8a⁶b : 4a⁷b⁶ = 2a^-1b^-5= 2/ab⁵

 

• netreba zabudnúť, že ak je exponent záporný, potom výraz upravíme na zlomok využitím vzťahu 2; m < n, a^m : aⁿ = 1 / a^m-n

 

 

d) 16a²b³c : 12a³b⁴c = 16/12.a^2-3 b^3-4 c^1-1 = 4/3.a^-1b^-1c⁰ = 4/3 . (a^-1b^-1 ) = 4/(3a¹b¹)

 

V tomto príklade sa nám objavila nultá mocnina, preto si musíme zapamätať ďalší vzťah a⁰ = 1

 

e) 16z² (2x+y) : [4z⁵(2x+y)³] = 4z^2-5(2x+y)^1-3 = 4y^-3(2x+y)^-2 = 4/y³(2x+y)²

 

f) 32a¹¹ : 8b¹¹ = 4a¹¹b¹¹

 

- v tomto príklade aj napriek rovnakým exponentom, nemáme rovnaký základ, preto dané mocniny nevieme vydeliť. Môžeme vydeliť iba čísla.

 

 

Zopakujme si:

1. Zjednoduš dané výrazy:

 

7³ . 7⁵ . 7¹¹ =

4m⁵ .(-m)³ =

6(a+3)⁵ . 12(a+3)⁷ =

0,1xy²z³ . 10x²y³z⁵ =

(-3d + 5e)^x. (-3d + 5e)². (-3d + 5e)^2x =

11¹¹ : 11⁵ : 11² =

144a⁵ : 12a³ =

5(c+1)⁶ : 5²(1+c)⁹=

[-21x²y³(a-2b)] : [(-3x⁵y)(a-2b)⁷] =

a⁵ :a³ : a² =

 

Zopakujte si:

1. Aká podmienka platí pre násobenie a delenie mocnín?
2. Aký vzťah použijeme pri násobení mocnín s rovnakým základom?
3. Aký vzťah použijeme pri delení mocnín s rovnakým základom?
4. Čomu sa rovná nultá mocnina ľubovoľného čísla?

Použitá literatúra:

Vlastné zdroje
Ondrej Šedivý- Matematika pre 8.r., 1.časť.