Obvod a obsah rovinných útvarov I.

 

1. Obvod a obsah trojuholníka

DEF: Trojuholník je časť roviny ohraničená tromi navzájom rôznobežnými priamkami.

Trojuholníky delíme :

 

1. podľa veľkosti vnútorných uhlov

    

• ostrouhlý – všetky uhly sú ostré

• pravouhlý – jeden uhol je pravý a zvyšné dva sú ostré

• tupouhlý – jeden uhol je tupý a zvyšné dva sú ostré

 

2. podľa veľkosti strán:

    

   • všeobecný = rôznostranný – každá strana má inú dĺžku

   • rovnostranný – všetky strany majú rovnakú dĺžku

   • rovnoramenný – dve strany = ramená majú rovnakú dĺžku, tretia strana = základňa má inú dĺžku

Vzorce pre výpočet obvodu a obsahu trojuholníka

 

1. Obvod trojuholníka

 

Obvod všeobecného trojuholníka O = a + b + c

Obvod rovnostranného trojuholníka O = 3a

Obvod rovnoramenného trojuholníka O = 2a + c = 2a + z

 

 

2. Obsah trojuholníka

S = a . v_a / 2 = b . v_b / 2 = c . v_c / 2

• vieme použiť hociktorú alternatívu podľa zadaných hodnôt

Upravené vzorce pre obsah jednotlivých typov trojuholníkov:

 

• Obsah pravouhlého trojuholníka s preponou c: S = ab /2

• Obsah rovnostranného trojuholníka s preponou c: S = a²√3 /4

 

Na výpočet obsahu trojuholníka poznáme i tzv. Herónov vzorec:

 

S = √(s.(s-a)(s-b)(s-c)); s = a+b+c / 2 = O / 2

Obsah trojuholníka vieme vypočítať aj pomocou polomerov kružníc vpísanej a opísanej danému trojuholníku:

 

• r – polomer kružnice opísanej

S = abc / 4r

 

- ρ – polomer kružnice vpísanej

S = s . ρ, s = a+b+c / 2

 

Použitie predchádzajúcich vzorcov si ukážeme na niekoľkých riešených príkladoch.

Pr.1. V pravouhlom trojuholníku sú dané odvesny 6 cm a 8 cm. Vypočítajte jeho obsah.

 

Riešenie:

ABC – trojuholník

a = 6cm

b = 8cm

S = ?

- pre výpočet obsahu použijeme vzorec na výpočet obsahu pravouhlého trojuholníka:

S = ab/2

S = 6.8 / 2

S = 24 cm²

Obsah tohto trojuholníka je 24 cm²

Pr. 2. Obvod trojuholníka je 22cm. Jeho strana a je trikrát väčšia ako strana b a strana c je o 2 väčšia ako strana b. Vypočítaj veľkosti strán tohto trojuholníka.

 

Riešenie:

ABC – trojuholník

a= 3.b = 3.x

b = x

c = b + 2 = x + 2

O = 22 cm.

- dĺžky trojuholníka vyjadrené pomocou neznámej x dosadíme do vzorca pre výpočet obvodu trojuholníka. Potom vypočítame hodnotu neznámej x a nakoniec hodnotu x dosadíme do zápisu a dostaneme konečné hodnoty dĺžok strán trojuholníka.

O = a + b + c

22= 3x + x + (x + 2 )

22 = 5x + 2

20 = 5x

x = 4cm

 

 

a = 3 . x = 3 . 4 = 12 cm

b = x = 4cm

c = x + 2 = 4 + 2 = 6cm

Trojuholník má strany dlhé 12cm, 4cm a 6cm.

Pr. 3. Daný je trojuholník PQR s obsahom 112,86 dm² a výškou na stranu r dlhou 1,71 dm. Vypočítajte dĺžku strany r.

 

 

Riešenie:

PQR

S = 112,86 dm²

v_r = 1,71 dm

r = ?

- Pri výpočte budeme vychádzať zo základného vzorca pre výpočet obsahu, kde môžeme postupovať dvomi spôsobmi. Buď do vzorca dané hodnoty dosadíme a postupne sa pomocou úprav prepracujeme k výsledku, alebo si najskôr vzorec upravíme, a potom dosadíme, čím rýchlejšie vypočítame výsledok.. Tu si ukážeme ten menej obľúbený spôsob- úpravu vzorca

S = r . v_r / 2

2S = r . v_r

2S / v_r = r

2.112,86 / 1,71 =r

132 dm = r

Strana r má dĺžku 132 dm.

 

 

Pr. 4. Aká je strana rovnostranného trojuholníka, ktorého obsah sa rovná obsahu trojuholníka so stranami 7,10,11.

 

Riešenie:

Trojuholník A₁ B₁ C₁                                                   Trojuholník A₂ B₂ C₂ - rovnostranný

a₁ = 7                                                           a₂ = b₂ = c₂ = ?

b₁ = 10

c₁ = 11

S₁ = ?                                                           S₂ = ?

• keďže máme dva trojuholníky, ktorých obsahy sa rovnajú, potom vypočítame obsah jedného trojuholníka a použijeme ho v druhom trojuholníku na výpočet jeho strany.

• Obsah trojuholníka vypočítame pomocou Herónovho vzorca, keďže sú dané jeho všetky strany a žiadna výška.

 

S = √(s.(s-a)(s-b)(s-c)) s = (a + b +c)/2

s= (7+10+11)/2

s= 14

S = √(14.(14-7)(14-10)(14-11))

S = √(14 . 7 . 4. 3)

S = √1176

S = 14.√6

• vyžijem upravený vzorec pre obsah rovnostranného trojuholníka:

 

S = a²√3 /4

14.√6 = a²√3 /4

4. 14.√6/√3 = a²

a = √(56√2)

Strana rovnostranného trojuholníka je √(56√2).

Zopakujte si:

1. Aký je vzorec pre výpočet obvodu všeobecného trojuholníka?
2. Aký je vzorec pre výpočet obsahu všeobecného trojuholníka?
3. Aký je vzorec pre výpočet obvodu rovnostranného trojuholníka?
4. Ako vyzerá Herónov vzorec a kedy sa používa?
5. Aké sú vzťahy pre obsah trojuholníka, ak je trojuholníku vpísaný alebo opísaný trojuholník?
6. Vypočítaj obvod a obsah všeobecného trojuholníka so stranami dlhými 5, 7 a 12.
7. Je daný rovnostranný trojuholník so stranou dlhou 6,5 cm. Vypočítaj obsah tohto trojuholníka.
8. Trojuholník KLM má obsah 11,96 dm2 a stranu a dlhú 5,2 m. Vypočítaj veľkosť príslušnej výšky.

Použitá literatúra:

www.wikipedia.org
Vlastné poznámky
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA