Kombinácie

Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová

Kombinácia, presnejšie kombinácia k - tej triedy z n prvkov množiny M je ľubovoľná k-prvková podmnožina n-prvkovej množiny M. Počet všetkých kombinácií k-tej triedy sa teda často využíva pri riešení úloh, kde je potrebné zistiť, koľkými spôsobmi možno vybrať spomedzi n prvkov skupinu k prvkov, pričom nezáleží na ich poradí výberu.

Rozlišujeme kombinácie bez opakovania a s opakovaním prvkov.

1. Kombinácie bez opakovania

DEF: Kombinácia k-tej triedy z n prvkov bez opakovania danej základnej n-prvkovej množiny (0 ≤ k ≤ n) je každá k-tica rôznych prvkov zostavená z prvkov základnej množiny tak, že na poradí prvkov nezáleží a prvky sa neopakujú.

Ozn: C(k,n) , resp. C_k(n)

Odvodenie vzorca pre výpočet kombinácií bez opakovania:

C(k,n) = V(k,n)/P(k) = n(n-1)(n-2).....(n-k+1 )/ k(k-1)(k-2).......3.2.1 = n! / (n-k)! . k! =

Symbol   sa nazýva kombinačné číslo a číta sa n nad k

Vlastnosti kombinačných čísel:

Pr. 1. Vypočítaj kombinácie 3-tej triedy z 6 prvkov bez opakovania prvkov.

Riešenie:

Keďže ide o kombinácie bez opakovania použijeme vzorec:

C(k,n) = n! / (n-k)! . k!,

pričom n = 6 – celkový počet prvkov množiny

k = 3- počet prvkov, ktoré vyberáme (vytvárame k-tice)

C(3,6) = 6! / (6-3)!.3!

C(3,6) = 720 / 36

C(3,6) = 20

Pr. 2. V rovine je 8 rôznych bodov (žiadne tri neležia na jednej priamke). Koľko rôznych úsečiek dostaneme pospájaním všetkých týchto bodov?

Riešenie:

Každá úsečka je daná dvomi rôznymi bodmi. My máme množinu 8 rôznych bodov, ktoré neležia na jednej priamke, z nich vyberáme dva body, ktoré budú tvoriť úsečku.

Pri výbere prvkov nám na ich poradí nezáleží. Podľa toho vieme, že ide o kombinácie. A keďže sa pri vytváraní úsečky nesmie opakovať ten istý bod, potom ide o kombinácie bez opakovania. Použijeme vzorec:

C(k,n) = n! / (n-k)! . k!,

C(3,8) = 8! / (8-3)!.3!

C(3,6) = 40320 / 720

C(3,6) = 56

Dostaneme 56 rôznych úsečiek.

2. Kombinácie s opakovaním

DEF: Pre počet kombinácií k-tej triedy z n- prvkov s opakovaním vytvorených z prvkov základnej množiny tak, že každý prvok sa môže až k – krát opakovať, je vzťah:

C´(k,n) = (n+k-1)! / (n-1)! . k! =

Ozn: C´(k,n) , resp. C´_k(n)

Pr.1. Vypočítaj kombinácie 3-tej triedy zo 6 prvkov s opakovaním prvkov.

Riešenie:

Keďže ide o kombinácie s opakovaním použijeme vzorec:

C´(k,n) = (n+k-1)! / (n-1)! . k!

pričom n = 6 – celkový počet prvkov množiny

k = 3- počet prvkov, ktoré vyberáme (vytvárame k-tice)

C´(3,6) = (6+3-1)! / (6-1)! . 3!

C´(3,6) = 8! / 5! . 3!

C´(3,6) = 54

Pr 2. V obchode majú 9 druhov pohľadníc. Koľkými spôsobmi možno kúpiť 14 pohľadníc?

Riešenie:

Pri výbere pohľadníc nám na poradí nezáleží, ktorú vyberiem prvú a ktorú poslednú. To nám indikuje, že ide o kombinácie.

A keďže máme k dispozícií iba 9 druhov a máme kúpiť 14 kusov, potom sa bezpodmienečne musí niektorý druh opakovať. Teda použijeme vzťah pre kombinácie s opakovaním.

n = 9, k = 14

C´(k,n) = (n+k-1)! / (n-1)! . K!

C´(14, 9) = (9+14-1)! / (9-1)! . 14!

C´(14, 9) = 22! / 8! . 14!

C´(14, 9) = 14!.15.16.17.18.19.20.21.22 / 8.7.6.5.4.3.2.1 . 14!

C´(14, 9) = 319 770

14 pohľadníc môžete kúpiť 319 770 spôsobmi.

Zapamätajte si:

Pri kombináciách – nezáleží na poradí prvkov

1. Kombinácie bez opakovania - C(k,n) = n! / (n-k)! . k!,

2. Kombinácie s opakovaním - C´(k,n) = (n+k-1)! / (n-1)! . k!

Kombinácie bez opakovania počítame ako kombinačné číslo:

Kombinácie s opakovaním počítame ako kombinačné číslo: