Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová


 

 

Permutácie delíme podľa možnosti opakovania sa vyberaných prvkov na Permutácie bez opakovania a Permutácie s opakovaním.

 

  1. Permutácie bez opakovania


DEF: Variácie n-tej triedy bez opakovania z n-prvkovej množiny nazývame permutácie bez opakovania.

 

Ozn:_ P(n)

 

Odvodenie vzorca pre výpočet permutácií bez opakovania: keďže platí P(n) = V(n, n) pre n є N : P(n)=n!

 

n! – n-faktoriál – súčin všetkých kladných celých čísel menších alebo rovných n.



 

Vlastnosti faktoriálu:


n! = n.(n-1).(n-2). ....... .1 Pr. 5! = 5.4.3.2.1 = 120

n! = n . (n-1) ! = n.(n-1) . (n-2)!......atď

1! = 1



Pozn: Permutácia n prvkov je každá usporiadaná n–tica vytvorená z týchto prvkov.

 

Každý z n prvkov sa v tejto n-tici vyskytuje práve raz. Jednotlivé permutácie sa od seba líšia len poradím prvkov.


  • na poradí prvkov záleží

  • prvky sa nemôžu opakovať




Pr. 1. Dané sú tri prvky a, b, c. Vytvorte z nich permutácie bez opakovania.


Riešenie:


Máme tri prvky: n = 3


Pre vypočítanie permutácií bez opakovania použijeme vzorec pre výpočet n-faktoriálu:

 

P(n)=n!

P(n) = 3!

P(n) = 6




Pr.2. Koľko rôznych päťciferných prirodzených čísiel možno napísať pomocou číslic 1,2,3,4,5, ak:


  1. číslica sa v čísle použije len raz?

  2. Koľko z napísaných čísiel sa bude začínať číslicou 5?

 

Riešenie:


  1. vytvárame päťciferné číslo, na poradí cifier teda záleží - to indikuje k variáciám. Ale keďže máme k dispozícií 5 cifier a každá cifra sa môže použiť iba raz, pôjde o variácie 5-tej triedy z 5 prvkov, teda o permutácie z 5 prvkov. Použijeme vzorec:

 

P(n)=n!

P(5) = 5!

P(5) = 120


Môžeme vytvoriť 120 rôznych 5-ciferných čísel.




  1. Každé 5-ciferné číslo sa má začínať 5. Teda číslo bude vyzerať nasledovne 5_ _ _ _ . Podľa tohto vzoru vidíme, že nám k dispozícií ostali 4 čísla: 1,2,3,4. Preto budeme počítať permutácie 4-triedy (stále záleží na poradí prvkov a prvky sa nesmú opakovať).

 

P(n) = n!

P(4) = 4!

P(4) = 24


Takýchto čísel vieme vytvoriť 24.



  1. Permutácie bez opakovania


DEF: Permutácie s opakovaním. n je počet prvkov uvažovanej množiny. Z toho n1 je 1. druhu, n2 je 2. druhu, ... nk je k-teho druhu, pričom n1+ n2+...+ nk =n . Každé usporiadanie prvkov nazývame permutáciou s opakovaním.

 

Ozn: P´(n)


Vzorec: P´(n) = n! / n1! . n2! ......... nk!




Pr. Koľko rôznych slov možno vytvoriť zo slova MATEMATIKA?


Riešenie:

n = 10

A – n1 = 3

M – n2 = 2

T – n3 = 2

E – n4 = 1

I – n5 = 1

K – n6 = 1


P´n1,n2,n3,.......nk (10) = 10! / 3!.2!.2!.1!.1!.1!

P´n1,n2,n3,.......nk (10) = 151 200


Môžeme vytvoriť 151 200 rôznych slov.



Zapamätajme si:


Pri permutáciách na poradí prvkov záleží:

 

1. Permutácie bez opakovania: P(n) = n! - prvky sa neopakujú

2. Permutácie s opakovaním: P´(n) = n! / n1! . n2! ......... nk! - prvky sa opakujú




Použitá literatúra:


RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách

Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA

vlastné poznámky

www.wikipedia.org