Sústavy lineárnych rovníc – príklady

 Vypracovala: Mária Martinkovičová

Riešenie sústavy lineárnych rovníc sčítacou metódou

1. Riešme sústavu lineárnych rovníc v R:

-5a + b = 1

(-2a + b = -2) / . 5

10a – 2b = -2

Rovnice sčítame, čím získame rovnicu s jednou neznámou:

3b = -12

Z čoho neznáma (v našom prípade b):

b = -4

Výsledok dosadíme do jednej (ľubovoľnej) z pôvodných rovníc a výpočtom získame druhú neznámu – v našom prípade a:

-5a + (-4) = 1

Riešením sústavy lineárnych rovníc je usporiadaná dvojica: P = [-1; -4]. Urobíme skúšku správnosti – dosadením, čím overíme, či dvojica [-1; -4] je naozaj koreňom sústavy rovníc:

-2 . (-1) + (-4) = -2

Riešenie sústavy lineárnych rovníc dosadzovacou metódou

3y – 8x = 15

Riešenie:

Z ľubovoľnej rovnice si vyjadríme jednu neznámu, ktorú dosadíme do druhej rovnice. Tým dostaneme rovnicu s jednou neznámou. Vyriešime a ďalej postupujeme ako pri sčítacej metóde, t.j. prvú neznámu dosadíme do jednej z rovníc sústavy, kde riešením určíme druhú neznámu. Vykonáme skúšku správnosti:

Napr. y z druhej rovnice:

Dosadíme do 1. rovnice:

x = 6

Dosadíme do 2. rovnice:

7 . 6 – 2y = 0

Koreňom sústavy rovníc je usporiadaná dvojica: P = [6; 21].

Riešenie sústavy lineárnych rovníc grafickou metódou

Vychádzame z poznania, že grafom lineárnej funkcie (funkcie tvaru y = ax + b) je priamka. Stačí, aby sme poznali dva body. Z oboch rovníc si vyjadríme y:

y = – 2x + 11

Nakreslíme grafy funkcií:

Súradnice priesečníkov sú riešením sústavy: P = [3; 5].

Riešenie slovných úloh pomocou sústav lineárnych rovníc

Vstupné na výstavisko pre deti je 1,5€, pre dospelých 4€. V jeden deň na výstavisko prišlo 2020 ľudí, pričom sa vyzbieralo 5050€. Koľko detí a koľko dospelých vstúpilo v daný deň na výstavu?

Riešenie:

Označme si:

celkový počet vstupov: x + y = 2200

Riešme sčitovacou metódou:

(x + y = 2200) / . (-4)

V daný deň sa výstavy zúčastnilo 1500 detí a 700 dospelých.

Otázky:

1. Riešte v R sústavu lineárnych rovníc:

2. Rýchlik z Bratislavy do Košíc prejde za 5 hod 56 min. Osobný vlak prejde túto vzdialenosť za 9hodín 15 min. Aká je priemerná rýchlosť rýchlika, ak vieme, že osobný vlak ide v priemere rýchlosťou o 30km/h menšou ako rýchlik?

    

Literatúra:

Šedivý O. a kol: Matematika pre 9.ročník základných škôl, SPN, Bratislava