Logaritmické rovnice a nerovnice

 Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová

 

 

Logaritmické rovnice sú rovnice, ktoré obsahujú neznámu v argumente logaritmickej funkcie.

Pri logaritmických rovniciach je nevyhnutné určiť podmienky riešiteľnosti, pri ktorých sú logaritmy v rovnici definované.

Vypočítané korene overujeme porovnaním s podmienkami a skúškou.

Pozn: Odlogaritmovanie nie je ekvivalentná úprava a môže rozšíriť počet koreňov.

 

Metódy riešenia a typy logaritmických rovníc

1. Základné logaritmické rovnice typu log_ax = y

2. Logaritmické rovnice tvaru: log_a v(x) = log_a u(x)

3. Logaritmické rovnice riešené substitúciou

4. Logaritmicko- exponencionálne rovnice

1. Základné logaritmické rovnice typu log_ax = y

Pri riešení používame definíciu logaritmu a^y = x

 

Pr: log₂ x = 3                                                P: x > 0

• vychádzajúc z definície logaritmu           2³ = x    x є (0, ∞)

                                                                      8 = x

 

 

Pr: log₅125 = y

 

• vychádzajúc z definície logaritmu  5^y = 125

• upravíme na rovnaký základ          5^y = 5³

                                                             y = 3

 

2. Logaritmické rovnice tvaru: log_a v(x) = log_a u(x)

Keďže logaritmická funkcia je prostá, potom platí veta:

x = y práve vtedy keď log_a x = log_a y, x, y > 0, x, y є R, a > 0, a ≠ 1

 

 

Pr: log₄x = 0,5. log₄11                 P: x > 0 

       log₄x = log₄                           x є (0, ∞)

            x = √11

 

Pr: log (x + 4) = log (3x – 1)                              P: x + 4 > 0         3x - 1 > 0

              x + 4 = 3x – 1                                               x > -4               x > 1/3

                    x = 5/2                                                x є (-4, ∞) ∩ (1/3, ∞) = (1/3, ∞)

 

3. Logaritmické rovnice riešené substitúciou

• pri riešení tohto typu logaritmických rovníc často prejdeme na kvadratickú rovnicu

 

 

Pr: (log₃x)² - log₃x³ = 2.log₃x – 4

• upravíme použitím vzorcov pre počítanie s logaritmami

(log₃x)² – 3.log₃x = 2.log₃x – 4 P: x > 0

 

• použijeme substitúciu x є (0, ∞)

subst: log₃x = y

y² -3y = 2y -4

 

y² -5y +4 = 0 - dostali sme kvadratickú rovnicu, ktorú môžeme riešiť buď pomocou diskriminantu alebo rozkladom na súčin. Po výpočte dostaneme čiastkové výsledky.

(y – 4).(y-1) = 0

y₁ = 4 y₂ = 1

• vrátime sa do substitúcie a vypočítame hodnoty neznámej x.

log₃x₁ = 4          log₃x₂ = 1

x₁ = 3⁴                           x₂ = 3¹

x₁ = 81                     x₂ = 3

• na záver výsledné hodnoty neznámej x skontrolujeme s podmienkami a nakoniec určíme množinu koreňov.

K = {3, 81}

4. Logaritmicko- exponencionálne rovnice

    

• využívame definíciu a vlastnosti logaritmu a substitúciu

 

Pr: log₂(9-2^x) = 3 – x

• určíme podmienky: P : 9-2^x > 0

                                                9 > 2^x

• využijeme definíciu logaritmu log_ax = y, práve vtedy keď a^y = x

9-2^x = 2^3-x

9-2^x = 2³.2^-x

9-2^x = 8/2^x - subst. 2^x = y

9 – y = 8/y

9y – y² = 8

y² – 9y + 8 = 0 - riešime kvadratickú rovnicu diskriminantom alebo rozkladom na súčin

(y – 8). (y – 1) = 0

y₁ = 8              y₂ = 1 - vrátime sa do substitúcie

2^x = 8              2^x = 1

2^x = 2³             2^x = 2⁰

x₁ = 3              x₂ = 0

 

• výsledky skontrolujeme s podmienkami

9 > 2³ 9 > 2⁰

9 > 8 9 > 1

3, 0 – vyhovujú podmienkam

K = {0, 3}

Logaritmické rovnice sa využívajú pri riešení úloh v matematike, fyzike a chémií.

 

 

Logaritmické nerovnice riešime podobne ako logaritmické rovnice. Používame vzorce pre počítanie s logaritmami a snažíme sa upraviť nerovnicu tak, aby sme mohli použiť metódu odlogaritmovania. Rozdiel medzi počítaním rovníc a nerovníc spočíva okrem iného v rešpektovaní monotónnosti logaritmickej funkcie

1. Pre všetky a є R⁺, a > 1 je funkcia y = log_ax rastúca

t.j. pre všetky x₁, x₂ є R⁺: x₁ < x₂ potom log_ax₁ < log_ax₂

Pozn.: znamienka nerovnosti sú rovnakého smeru

2. Pre a є R⁺, a < 1 je funkcia y = log_ax klesajúca

t.j. pre všetky x₁, x₂ є R⁺: x₁ < x₂ potom log_ax₁ > log_ax₂

Pozn.: znamienka nerovnosti sú opačné

• Podobne ako pri rovniciach i pri nerovniciach musíme určiť podmienky riešiteľnosti. Na záver urobíme prienik medzi intervalom podmienok a výsledným intervalom.

 

Pr: log₂(x+1) < 2

 

- keďže a = 2 > 1, ide o prvý typ nerovnice, a teda znamienka nerovnosti sa po odlogaritmovaní nemenia

 

P: x + 1 > 0

          x > -1

        x є (-1, ∞)

 

 

log₂(x+1) < log₂2² - odlogaritmujeme

      x + 1 < 2²

            x < 3

         x є (-∞, 3)

x є (-1, ∞)∩(-∞, 3) = (-1, 3)

Pr. log_1/2(2x – 1) < -1

a = 1/2 < 1, preto ide o druhý typ nerovnice, kde sa znamienka nerovnosti po odlogaritmovanie menia na opačné.

P: 2x – 1 > 0

            x > 1/2

         x є (1/2, ∞)

log_1/2(2x – 1) < log_1/2(1/2)^-1

          2x – 1 > (1/2)^-1

          2x – 1 > 2

                 x > 3/2

             x є (3/2, ∞)

x є (1/2, ∞) ∩ (3/2, ∞) = (3/2, ∞)

 

Použitá literatúra:

RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách

Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA

vlastné poznámky

www.wikipedia.org