Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová


 

 

Medzi kvadratické útvary v priestore patrí guľa, rotačný elipsoid, hyperboloid a paraboloid. Dajú sa v analytickej geometrii opísať v Oxyz kvadratickými rovnicami. Na strednej škole sa zameriavame len na guľu a guľovú plochu.



Guľa so stredom S [m, n, p] a polomerom r > 0 sa nazýva množina všetkých bodov X v priestore, pre ktoré platí |SX| ≤ r.


Zápis: G (S,r)


Analyticky je vyjadrená nerovnicou:


S[0, 0, 0]  : x2 + y2 + z2 ≤ r2

S[m, n, p]  : (x – m)2 + (y – n)2 + (z – q)2 ≤ r2




Guľová plocha so stredom S [m, n, p] a polomerom r = 0 sa nazýva množina všetkých bodov X v priestore, pre ktoré platí |SX| = r.


Zápis: H (S,r)


Analyticky je vyjadrená nerovnicou:


S[0, 0, 0],  X[x, y, z] : x2 + y2 + z2 = r2

S[m, n, p], X[x, y, z]  : (x – m)2 + (y – n)2 + (z – q)2 = r2




Dotyková rovina guľovej plochy H (S,r) v bode T [x0, y0, z0] má rovnicu:


(x – m) . (x0 – m) + (y – n) . (y0 – n) + (z – q) . (z0 – q) = r2



Guľová plocha sa dá vyjadriť kvadratickou rovnicou nazývanou všeobecná rovina guľovej plochy:


x2 + y2 + z2 + Ac + By + Cz + D = 0, kde S[-A/2, -B/2, -C/2] je stred plochy a jej polomer r = ½ . √(A2 + B2 + C2 -4D), pričom A2 + B2 + C2 > 4D


(Nie každá rovnica tohto typu vyjadruje guľovú plochu) !!!!!!!!!



Úlohy s guľovými plochami a ich dotykovými rovinami sa riešia podobnými postupmi ako úlohy s kružnicami a ich dotyčnicami.


 

Pr.1. Rozhodnite, či daná rovnica vyjadruje guľovú plochu: ak áno, určte jej stred a polomer.


a) x2 + y2 + z2 – 2x + 6y – 4z -86 = 0


Riešenie:


x2 – 2x + y2 + 6y + z2 – 4z - 86 = 0 – po dosadzujeme a štvorec

(x – 1)2 + (y + 3)2 + (z - 2)2 – 86 - 1 - 9 - 4 = 0

(x – 1)2 + (y + 3)2 + (z - 2)2 = 100

S [1, -3, 2] , r = 10


Odpoveď: Ide o guľovú plochu so stredom S [1, -3, 2] a polomerom r = 10



 

b) x2 + y2 + z2 – 2x + 6y – 4z +86 = 0


Riešenie:


x2 – 2x + y2 + 6y + z2 – 4z +86 = 0 – po dosadzujeme a štvorec

(x – 1)2 + (y + 3)2 + (z - 2)2 + 86 - 1 - 9 - 4 = 0

(x – 1)2 + (y + 3)2 + (z - 2)2 = -72 !!!!!


Nevieme urobiť v obore reálnych čísel odmocninu z záporného čísla,


Odpoveď: Pretože r2 < 0 rovnica nevyjadruje guľovú plochu.




Pr.2. Napíšte rovnicu guľovej plochy, ak jej stred je S [1, 0, 2] a leží na nej bod A [1, 2, -4]. Potom určte rovnicu dotykovej roviny guľovej plochy v bode A.


Riešenie:


Polomer guľovej plochy vypočítame:


r = |SA| = √((1-1)2 + (2-0)2 + (-4-2)2) = √40



 

1. Určenie rovnice guľovej plochy


Z rovnice (x – m)2 + (y – n)2 + (z – q)2 = r2 po dosadení súradníc stredu a polomeru dostaneme:


(x – 1)2 + (y – 0)2 + (z +2)2 = 40 – po úprave dostaneme

x2 + y2 + z2 – 2x + 4z - 35 = 0 - rovnica guľovej plochy


 


2. Určenie rovnice dotykovej roviny


Vychádzame z všeobecnej rovnice dotykovej roviny (x – m) . (x0 – m) + (y – n) . (y0 – n) + (z – q) . (z0 – q) = r2, do ktorej dosadíme súradnice bodu A[x0, y0, z0]


(x – 1) . (1 - 1) + (y – 0) . (2 - 0) + (z + 2) . (4 + 2) = 40

y + 3z – 14 = 0 - rovnica dotykovej roviny



 

Neriešené príklady:


  1. Napíšte rovnicu guľovej plochy, ktorá má stred totožný so stredom gule x2 + y2 + z2 ≤ 25 a prechádza bodom A [1, 2, 3]. Potom určite všeobecnú rovnicu dotykovej roviny tejto guľovej plochy v bode dotyku A.


  1. Určite stred a polomer guľovej plochy danej rovnicou: x2 + y2 + z2 – 4x + 6y - 13 = 0




Použitá literatúra:


RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách

Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA

Vlastné poznámky