Vzájomná poloha priamky a kužeľosečky

 Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová

Zistiť vzájomnú polohu priamky a kužeľosečky (krivky druhého stupňa) znamená riešiť sústavu rovníc s dvomi neznámymi x, y, z ktorých je jedna lineárna a druhá kvadratická rovnica. Usporiadané dvojice, ktoré sú riešením sústavy sú súradnice spoločných bodov priamky a kužeľosečky. Pri riešení sústavy môžu nastať nasledujúce možnosti:

• práve dve riešenia, kužeľosečka má s priamkou práve dva spoločné body

• má jedno riešenie, kužeľosečka má s priamkou jeden spoločný bod

• nemá reálne riešenie, kužeľosečka nemá s priamkou nijaký spoločný bod.

Priamky nazývame:

1. Sečnica kužeľosečky „s“ má s kužeľosečkou buď spoločné práve dva body, alebo má s kužeľosečkou spoločný práve jeden bod, ale nie je dotyčnicou kužeľosečky. So sečnicami s spoločným jedným bodom sa môžeme stretnúť iba pri parabole (priamka je rovnobežná s osou paraboly) a pri hyperbole (priamka je rovnobežná s asymptotou). Spoločné body kužeľosečky a priamky nazývame priesečníky priamky a kužeľosečky.

2. Dotyčnica kužeľosečky „t“ je priamka, ktorá neobsahuje nijaký bod vnútornej oblasti kužeľosečky a má s kužeľosečkou spoločný práve jeden bod T, nazývaný bod dotyku.

3. Nesečnica kužeľosečky „n“, alebo tiež nazývaná vonkajšia priamka kužeľosečky nemá s kužeľosečkou nijaký spoločný bod.

Pozn. 1.: Ak existuje priesečník dvoch dotyčníc, nazýva sa pól kužeľosečky. Spojnica bodov dotyku týchto dotyčníc s kužeľosečkou je polára „p“. Rovnicu poláry dostaneme, ak dosadíme do rovnice dotyčnice namiesto súradníc bodov dotyku súradnice pólu. P [x₁, y₁]. Poláru môžeme použiť výhodne, ak hľadáme napríklad rovnice dotyčníc vedených z bodu (pólu) ku kužeľosečke.

Pozn. 2.: Priamka kolmá na dotyčnicu sa nazýva normála. Jej rovnicu dostaneme z rovnice dotyčnice (normálový vektor dotyčnice je smerovým vektorom normály).

Teraz si uvedieme vzájomné polohy priamky a konkrétnych kužeľosečiek.

Sústavu dvoch rovníc riešime dosadzovacou metódou a vznikne nám kvadratická rovnica. Počet koreňov určuje počet bodov prieniku priamky a kužeľosečky. Počet koreňov vieme určiť už podľa diskriminantu:

D > 0 , rovnica má dva korene

- priamka je sečnica

D = 0 , rovnica má jeden koreň

- priamka je dotyčnica

D < 0 , rovnica nemá koreň

- priamka je nesečnica

1. Vzájomná poloha priamky p a kružnice k

Dotykový bod T má súradnice: [x₀, y₀]

Rovnice dotyčnice kružnice:

S[0, 0] k: x² + y² = r²

t: x_0.x² + y_0. y² = r²

S[m, n] k: (x – m)² + (y – n)² = r²

t: (x₀ – m) _. (x – m) + (y₀ – m)_. (y – n) = r²

2. Vzájomná poloha priamky p a elipsy E

S[m, n], T[x₀, y₀]

E: (x – m)² / a² + (y - n)² / b² = 1

t: (x – m)(x₀ – m) / a² + (y - n).(y₀ – n) / b² = 1

E: (x – m)² / b² + (y - n)² / a² = 1

t: (x – m)(x₀ – m) / b² + (y - n).(y₀ – n) / a² = 1

3. Vzájomná poloha priamky p a paraboly P

Môžu nastať dva prípady sečnice:

• ak priamka a parabola majú dva spoločné body – s₁

• ak priamka a parabola majú jeden spoločný bod, ale ten prechádza vnútrom paraboly –s₂

T[x₀, y₀], V[v₁, v₂]

P: 2p . (y – v₂) = (x – v₁)²

t: p(y + y₀ – 2v₂) = (x – v₁) . (x₀ – v₁)

P: 2p . (x – v₁) = (y – v₂)²

t: p(x + x₀ – 2v₁) = (y – v₂) . (y₀ – v₂)

4. Vzájomná poloha priamky p a hyperboly H

S[m, n], T[x₀, y₀]

H: (x – m)² / a² - (y - n)² / b² = 1

t: (x – m)(x₀ – m) / a² - (y - n).(y₀ – n) / b² = 1

H: - (x – m)² / b² + (y - n)² / a² = 1

t: - (x – m)(x₀ – m) / b² + (y - n).(y₀ – n) / a² = 1

Pozn. 3.: Rovnicu dotyčnice ku krivke môžeme určiť i pomocou derivácie funkcie danej implicitne.

Typové úlohy:

• napísať rovnicu dotyčnice, ak je daný bod dotyku, alebo ľubovoľný bod dotyčnice

• napísať rovnicu dotyčnice rovnobežnej alebo kolmej na nejakú priamku

• zistiť vzájomnú polohu priamky a kužeľosečky

Použitá literatúra:

RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách

Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA

Vlastné poznámky