Obvod a obsah rovinných útvarov IV.

 DEF: Kružnica je množina všetkých bodov v rovine, ktorých vzdialenosť od stredu kružnice je rovná polomeru kružnice.

Matematický zápis definície:

k(S,r) = {X є E₂, |SX| = r}

ozn: k(S,r)

DEF: Kruh je množina všetkých bodov v rovine, ktorých vzdialenosť od stredu kruhu je menšia alebo sa rovná polomeru kruhu.

 

Matematický zápis definície:;

K(S,r) = {X є E₂, |SX| ≤ r}

ozn: K(S,r)

Vzorce:

Vzťah medzi polomerom a priemerom

d = 2.r d – priemer, r – polomer

Obvod kružnice, kruhu

O = 2π r = π . d

Obsah kruhu

S = π . r² = π . d² / 4

Časti kruhu

1. Kružnicový oblúk

 

DEF: Kružnicový oblúk AB v danej kružnici so stredom S a polomerom r je prienik kružnice a množiny bodov príslušného stredového uhla α. Body A, B sú priesečníky ramien uhla α s danou kružnicou.

 

Dĺžka kružnicového oblúka:

 

l = 2πr . α / 360°

Na tom istom obrázku si môžeme vysvetliť aj ďalšie časti kruhu.

2. Kruhový výsek

DEF: Kruhový výsek je prienik kruhu a príslušného stredového uhla α

Obsah kruhového výseku:

S = π.r².α / 360° = l.r / 360°

3. Kruhový odsek

DEF: Kruhový odsek je prienik kruhu a polroviny, ktorej hraničná priamka má od stredu S vzdialenosť menšiu ako polomer.

 

 

Obsah kruhového odseku

• Vypočítame ako rozdiel obsahu kruhového výseku a obsahu trojuholníka ASB.

S = r²/2 (π.α/180°- sinα)

 

4. Medzikružie

 

DEF: Medzikružie je množina všetkých bodov v rovine, ktoré sú od pevného bodu S, nazývaného stred medzikružia, vzdialené aspoň r a najviac R.

R – vonkajší polomer medzikružia, r – vnútorný polomer medzikružia

δ – šírka medzikružia, rozdiel vonkajšieho a vnútorného polomeru

 

Obsah medzikružia:

S = π (R² – r²)

Riešené príklady:

Pr. 1. Je daný kruh s polomerom 6,28 cm. Vypočítaj jeho obvod a obsah.

Riešenie:

r = 6,28 cm

S, O = ?

Takýto typ príkladu by mal zvládnuť každý, keďže ide o dosadenie do vzorca, ktorý už poznáte zo základnej školy

O = 2π r

O = 2 . 3,14 . 6,28

O = 39,4384 cm

S = π . r²

S = 3,14 . 6,282

S = 123,836576 cm²

Odpoveď: Obvod kruhu je 39,4384 cm a jeho obsah je 123,836576 cm².

Pr.2. Dve sústredné kružnice tvoria medzikružie šírky 10 cm. Polomer menšej kružnice je 20 cm. Vypočítaj obsah medzikružia.

 

Riešenie:

δ = 10cm

r = 20cm

S_m = ?

• z polomeru vnútornej kružnice a rozpätia medzikružia vypočítame polomer vonkajšej kružnice.

R = r + δ

R = 20 + 10

R = 30cm

• Použitím vzorca na výpočet obsahu medzikružia dostaneme hľadaný výsledok.

 

S = π (R² – r²)

S = 3,14 (30² – 20²)

S = 3,14(900 – 400)

S = 1570 cm²

Odpoveď: Obsah medzikružia je 1570 cm².

Pr. 3. Je daný kruhový odsek s výškou 5 cm. Dĺžka príslušnej tetivy je 16 cm. Vypočítaj polomer daného kruhu a obsah kruhového odseku.

 

Riešenie:

t = 16 cm

v = 5 cm

S, r = ?

• pri výpočte polomeru daného kruhu použijeme Pytagorovu vetu v pravouhlom trojuholníku, kde prepona je polomer kruhu, jedna odvesna je polovička tetivy a druhá odvesna je rozdiel polomeru a výšky odseku

r² = (t/2)² + (r-v)²

r² = 8² + (r-5)²

r² = 64 + r² – 10r + 25

10r = 89

r = 8,9 cm

• pre výpočet obsahu kruhového odseku použijeme vzorec S = r²/2 (π.α/180°- sinα). Na jeho použitie musíme ešte vypočítať veľkosť príslušného stredového uhla. Na jeho výpočet môžeme použiť predchádzajúci pravouhlý trojuholník a pomocou goniometrických funkcií ostrého uhla vypočítame jeho polovičku.

sin α/2 = (t/2) / r

sin α/2 = 8 / 8,9

α/2 = 64°

α = 2 . 64° = 128°

• teraz už môžeme použiť vzorec na výpočet obsahu kruhového odseku.

S = r²/2 (π.α/180°- sinα)

S = 8,9²/2 . (3,14 . 128°/ 180° - sin 128°)

S = 79,21/2 . (2,2329 – 0,7880)

S = 57,22 cm²

Odpoveď: Polomer daného kruhu je 8,9 cm a obsah kruhového odseku je 57,22 cm.

Zopakujte si:

1. Vypočítajte obsah podložky pod maticu(tvar medzikružia) s vonkajším priemerom 2,5 cm a vnútorným priemerom 1 cm.
2. Z kruhového výseku vznikne kruhový odsek. Koľko percent výseku odpadne, ak polomer kruhu je 15 cm a stredový uhol výseku aj odseku je 60°?
3. Obvod kruhového výseku, ktorý je časťou kruhu s polomerom 12 cm, je 39 cm. Vypočítajte jeho obsah.

Použitá literatúra:

www.wikipedia.org
vlastné poznámky
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA