V tejto časti si ukážeme využitie všetkých vzorcov pre výpočet obvodu a obsahu rovinných útvarov. Často sa v príklade nachádza viac rovinných útvarov naraz, a preto potrebujeme vedieť operatívne narábať so vzorcami. Okrem vzorcov pre výpočet obvodu a obsahu rovinných útvarov často využívame i Pytagorovu vetu, goniometrické funkcie ostrého uhla a algebrické vzorce a mnohé ďalšie poznatky.


Využitie si ukážeme na riešených príkladoch.

 

  1. Postačí pravouhlý trojuholník s odvesnami dlhými 7 cm a 8 cm na prekrytie mince s polomerom 4 cm?


Zdroj: PaedDr. Elena Šimová

 

Riešenie:


ABC – pravouhlý troj.

a = 7 cm

b = 8 cm

S1 = ?

K(S, 4 cm)

S2 = ?

S1 ? S2


  • Vypočítame obsah pravouhlého trojuholníka a obsah kruhu a porovnáme oba obsahy. Ak obsah trojuholníka bude väčší ako obsah kruhu, potom trojuholník prekryje mincu.


S1 = a . b / 2

S1 = 7 . 8 / 2

S1 = 28 cm2

S2 = π.r2

S2 = 3,14.42

S2 = 50,24 cm2

S1 < S2


Odpoveď: Trojuholník mincu neprekryje, pretože jeho obsah je menší.



  1. Lichobežník ABCD má obsah 7,2 cm2 a základne dlhé: |AB| = 1,4 cm a |CD| = 0,6 cm. Vypočítajte obsah trojuholníka ACD.


Zdroj: PaedDr. Elena Šimová

 

Riešenie:


ABCD – lichobežník

|AB| = 1,4 cm

|CD| = 0,6 cm

SACD = ?


  • Vieme že pre obsah trojuholníka potrebujeme vedieť jeho výšku. Keďže trojuholník je súčasťou lichobežníka, potom ich výšky sú totožné. Preto vypočítame výšku z obsahu lichobežníka a následne vieme vypočítať obsah trojuholníka.

SABCD = (a+c).v / 2

7,2 = (1,4+0,6).v / 2

7,2 = 2.v / 2

7,2 cm = v

SACD = c.v / 2

SACD = 0,6.7,2 / 2

SACD = 2,16 cm2


Odpoveď: Obsah trojuholníka ACD je 2,16 cm2.



  1. Je daný štvorec so stranou „a“. Vo vrcholoch odrežte rovnoramenné trojuholníky tak, aby vznikol pravidelný osemuholník. Vypočítajte jeho obvod a obsah.


Zdroj: PaedDr. Elena Šimová

 

Riešenie:


  • v tomto príklade budeme pracovať s vzorcami a ich úpravami.


  • Takýmto odrezaním vrcholov štvorca sme dostali pravidelný štvorcu vpísaný osemuholník. Strana osemuholníka je polovička strany štvorca. Teraz už vieme odvodiť vzorce pre výpočet obvodu a obsahu osemuholníka.


O = n . an  

O = 8. a/2

O = 4 a

S = n.an.ρ/2

S = (8 . a/2 . a/2) /2

S = 4 a2


Odpoveď: Obvod osemuholníka je štvornásobok strany štvorca a jeho obsah je tiež štvornásobok obsahu štvorca.



  1. Vypočítaj polomer otáčanie sa postrekovej hadice, ak postrieka plochu s obsahom 100 m2 a uhol otáčania sa je 36°?


Zdroj: PaedDr. Elena Šimová

 

Riešenie:


S = 100cm2

α = 36°

r = ?


- Najskôr si musíme predstaviť danú situáciu. Po matematizácii daného príkladu zistíme, že útvar, ktorý postreková hadica vytvorí pri postrekovaní je kruhový výsek s stredovým uhlom 36°.

 

S = π.r2.α / 360°

100 = 3,14 . r2 . 36 / 360

36000 = 113,04 . r2

318,47 = r2

√318,47 = r

17,8 cm = r


Odpoveď: Polomer otáčania sa postrekovej hadice je 36°.



  1. Vypočítajte obsah rovnoramenného pravouhlého trojuholníka, ktorého obvod je 20 cm.


Zdroj: PaedDr. Elena Šimová

 

Riešenie:


ABC – rovnoramenný pravouhlý troj.

O = 20 cm

S = ?


  • ABC je pravouhlý rovnoramenný trojuholník, preto jeho odvesny majú rovnakú dĺžku „a“. Dĺžku prepony vypočítame pomocou Pytagorovej vety.


c2 = a2 + b2

c2 = a2 + a2

c2 = 2a2

c = √2a2

c = a√2


  • veľkosť odvesny „a“ vieme vypočítať z obvodu trojuholníka.


O = 2.a + c

20 = 2.a + a√2

20 = a (2 + √2)

20 / (2 + 1,4142) = a

5,86 cm = a


  • obsah daného trojuholníka vypočítame podľa vzorca S = a.b / 2


S = a . a / 2 = a2 / 2

S = 5,862 / 2

S = 17,17 cm2

 

Odpoveď: Obsah daného trojuholníka je cca 17,17 cm2.

 

 

  1. Vypočítajte šírku otvoru kľúča na šesťhranné matice, ak poznáte polomer „r“ kružnice opísanej danej matice.


Zdroj: PaedDr. Elena Šimová

 

Riešenie:


  • Táto úloha je postavená na správnej matematizácii. Je potrebné si uvedomiť, ako vyzerá šesťhranná matica a čo je jej šírka. Môže sa stať, že práve táto šírka bude nevhodne určená ako priemer opísanej kružnice. Pri správnom riešení vieme, že šírka matice je dvojnásobok výšky jedného zo šiestich trojuholníkov.


  • Niekedy je vhodné urobiť si pomocný náčrt časti celkového útvaru. V našom prípade je to pravouhlý trojuholník a my potrebujeme vypočítať výšku tohto trojuholníka, teda x/2. Na to použijeme Pytagorovu vetu.


r2 = (r/2)2 + (x/2)2 - polomer „r“ považujeme za známu veličinu a x za neznámu

(x/2)2 = r2 - (r/2)2

(x/2)2 = r2 - r2/4

(x/2)2 = 3r2/4

x/2 = √(3r2/4) - čiastočne odmocníme zlomok

x/2 = r√3 / 2 - dostali sme polovičku z hľadanej šírky otvoru


x = 2 . x/2

x = 2. r√3 / 2

x = r√3


Odpoveď: Šírka otvoru je r√3.



 

Pozn: Všetky tieto úlohy sú slovné geometrické úlohy. Riešenie týchto úloh má niekoľko stabilných krokov:


  1. prečítať a rozanalyzovať príklad

  2. urobiť matematický zápis

  3. urobiť náčrt, ak je potrebné i čiastkový náčrt

  4. vybrať a napísať vhodné vzorce

  5. dosadíme do vzorca a vypočítame

  6. skontrolujeme logickosť postupu a výsledku

  7. zapíšeme odpoveď

 

 



Zopakujte si:
1. Do kružnice s polomerom „r“ je vpísaný pravidelný šesťuholník. Vyjadrite obsah tohto šesťuholníka pomocou polomeru „r“.
2. Štvorcu so stranou dlhou 3 cm opíšte kružnicu k. Vypočítajte dĺžku kružnicového oblúka, ktorý na kružnici vymedzujú susedné vrcholy štvorca.
3. V kosoštvorci s dĺžkou strany „a“ má kratšiu uhlpriečku dĺžku „p“. Aký obsah má tento kosoštvorec?
4. Stranu NM štvorca KLMN rozdeľme na štyri rovnaké časti bodmi A, S, B. Protiľahlú stranu rozpoľme bodom C. Akou časťou obsahu štvorca je obsah trojuholníka ABC?
5. Je daný rovnostranný trojuholník so stranou a. Jeho vrcholy sú stredmi kružníc s polomerom a/2. Určte obsah útvaru vnútri trojuholníka ohraničeného oblúkmi týchto kružníc.

Použitá literatúra:
Vlastné poznámky
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA
L.Burjanová, I. Viskupová- Matematika strednej školy v testoch-1.časť
http://www.infovek.sk/predmety/matem/pedd/s-g4_ve.pdf