Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová
Riešiť všeobecný trojuholník znamená určiť veľkosti všetkých strán trojuholníka a jeho vnútorných uhlov.
Ľubovoľný trojuholník možno riešiť tak, že ho rozdelíme výškou na dva pravouhlé trojuholníky.
Jednoduchšie je využiť sínusovú a kosínusovú vetu.
Sínusová veta
DEF: Pomer všetkých dĺžok strán a hodnôt sínusov im protiľahlých uhlov vo všeobecných trojuholníkoch je konštantný a rovná sa priemeru opísanej kružnice.
Matematické vyjadrenie:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
a, b, c – strany trojuholníka
α, β, γ – vnútorné uhly trojuholníka
R – polomer opísanej kružnice trojuholníku
Dôkaz:
-
výška trojuholníka ho rozdelí na dva pravouhlé trojuholníky. Použitím sínusového vzorca pre pravouhlý trojuholník dostaneme:
Podobným spôsobom dostaneme i b / sin β = c / sin γ
Pozn: Sínusová veta tiež môže byť definovaná: Pomer strán dĺžok trojuholníka sa rovná pomeru sínusov im protiľahlých uhlov.
Matematické vyjadrenie:
a / b = sin α / sin β a / c = sin α / sin γ b / c = sin β / sin γ
Použite sínusovej vety:
-
Máme dané dva uhly trojuholníka, dĺžku jednej jeho strany a chceme vypočítať veľkosť ostatných strán.
-
Poznáme dĺžky dvoch strán trojuholníka a veľkosť vnútorného uhla, ktorý nezvierajú a chceme vypočítať ostatné uhly. V tomto prípade sa však stáva, že nám veta poskytne dve riešenia (iba správne riešenie však poskytuje pri súčte všetkých uhlov v trojuholníku hodnotu 180°).
Kosínusová veta
DEF: Obsah štvorca nad stranou všeobecného trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad zvyšnými dvoma stranami, zmenšenému o dvojnásobok súčinu týchto dvoch strán a kosínusu uhla, ktorý zvierajú.
Matematické vyjadrenie:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cos α b2 = a2 + c2 – 2ac.cos β c2 = a2 + b2 – 2ab.cos γ
Dôkaz:
-
Výška rozdelí trojuholník ABC na dva pravouhlé trojuholníky.
-
Použijeme Pytagorove vety
troj. APC: b2 = x2 + v2 
v2 = b2 - x2
troj. BPC: a2 = y2 + v2 v2 = a2 - y2
v2 = v2
b2 - x2 = a2 - y2 x + y = c y = c – x
b2 - x2 = a2 – (c – x)2
b2 - x2 = a2 – (c2 –2cx + x2)
b2 = a2 –c2 +2cx - x2 + x2
b2 = a2 – c2 +2cx / . (-1)
- b2 = - a2 + c2 -2cx
a2 = b2 + c2 -2cx –––––– čiastočný vzorec
-
Použijeme funkciu kosínus definovanú pre pravouhlý trojuholník
cos α = x / b x = b . cos α
- dosadíme do čiastočného vzorca a dostaneme jeden zo vzorov kosínusovej vety.
a2 = b2 + c2 -2cb . cos α
Ďalšie vzorce dostaneme analogicky.
Poznámka:
Pri riešení trojuholníka je vhodné postupovať nasledovne:
-
urobiť náčrt popisujúci úlohu
-
v náčrte vyznačiť všetky dané veličiny- strany, uhly, vzdialenosti
-
označiť premennou veličiny neznáme a hľadať súvislosti medzi neznámymi a známymi veličinami
-
vybrať vhodné vzťahy pre výpočet
Použitie kosínusovej vety:
-
ak poznáme všetky tri strany trojuholníka
-
ak poznáme dve strany a vnútorný uhol trojuholníka nimi zovretý
Použitá literatúra:
vlastné poznámky
www.wikipedia.org
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách