Funkcie - príklady

 Vypracovala: Mária Martinkovičová

1. Zapíšte rovnicu lineárnej funkcie prechádzajúcej bodmi B₁ [0; 6] a B₂ [-3; 1].

Riešenie:

Aby sme mohli určiť rovnicu priamky, y = ax + b dosadíme súradnice oboch bodov a vypočítame hodnoty a a b. Keďže bod B2 leží na grafe funkcie ([-3; 1]), dosadíme aj jej súradnice. Dostaneme sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych.

B₁: [0; 6] → x = 0; y = 6

y = ax + b

B₂: [-3; 1] → x = -3; y = 1

Rovncia priamky teda je:

y = 5/3x + 6

2. Majme priamku y: y = -(1/3)x + 1. Určite priesečník priamky so súradnicovými osami výpočtom aj graficky.

Riešenie:

Bod A je priesečník s osou x, súradnica y bodu A je 0, keďže v tomto bode je hodnota funkcie 0. Súradnice bodu A zapíšeme.

Bod B je priesečník s osou y; jeho súradnice zapíšeme ako B[0; y]

• Pokiaľ je x = 0, dosadením do rovnice vypočítame súradnicu y bodu B: y = -(1/3) . 0 + 1; t.j. y = 1; teda súradnice bodu B: B[0; 1]

• Ak je hodnota y = 0, do sadením do rovnice získame priesečník s osou x A[x; 0]: 0 = -(1/3)x + 1; t. j.: x = 3, teda súradnice bodu A: A[3; 0]

Graficky:

Priesečníky priamky teda sú:

• s osou x bod A[3; 0];

• s osou y bod B[0; 1]

3. Trojuholník je vymedzený priamkou a súradnicovými osami z príkladu 2. Vypočítajte jeho obsah.

Riešenie:

Trojuholník, tvorený priamkou so súradnicovými osami je vždy pravouhlý.

Ak sa pozrieme na graf, vidíme, že nemáme stanovenú dĺžku “jednotiek” v cm, resp., napríklad, koľko cm je od 0 po 5. Pre zjednodušenie si pre tento príklad určíme že 1 jednotka = 1 cm.

Jedna odvesna trojuholníka je vlastne vzdialenosť od začiatku súradníc k bodu B (t.j. v našom prípadne 1); druhá odvesna je vzdialenosť od začiatku súradníc po bod A – teda v našom prípade 3.

Takto môžeme vypočítať obsah pravouhlého trojuholníka, ktorý je rovný polovici hodnoty súčinu oboch jeho odvesien.

4. Juraj, žijúci v Prahe platí za plyn mesačne zálohu 74,69 €, za odber plynu fixnú mesačnú sadzbu 5,31 € + za skutočné spotrebované množstvo plynu. Po ročnom zúčtovaní za celkovú spotrebu v roku 2011 - 1950 kubíkov plynu - musel ešte doplatiť 41,33 €. Vypočítajte, koľko plynári účtovali v danom roku za kubík plynu. Ďalej nájdite linerárnu závislosť celkovej ročnej platby v eurách od spotreby plynu v kubíkoch.

Riešenie:

Lineárna funkcia, ktorú hľadáme bude mať pravdepodobne tvar:

y = k . x + 12 . 5,31

kde: k = cena plynu za 1 kubík (t. j. za 1 m³)

Teda, po dosadení:

Za kubík plynu si plynárne účtovali 0,448 €. Ročná platba je potom daná predpisom:

y = 0,448x + 1950

5. Nájdite koeficient k lineárnej funkcie y = k . x + 7, ak jej graf prechádza bodom [-2; 11]

Riešenie:

x = -2; y = 11

T.j.:

6. Zistite, pri akej hodnote x budú mať rovnakú funkčnú hodnotu funkcie:

y = 2x + 1

y = x + 5

Riešenie:

Funkcie dáme do rovnosti a vypočítame x:

2x + 1 = x + 5

7. Zostroj grafy týchto funkcií: y = 0,5x + 1; y = 0,5x – 2. Čo majú spoločné?

Riešenie:

Grafy daných funkcií majú spoločné to, že sú rovnobežné.

8. Aká je rovnica lineárnej funkcie, ktorej graf prechádza bodmi A[0; 7] a B[-7;0]?

Riešenie:

A: x = 0; y = 7: t. j.: 7 = a . 0 + b

B: x = -7; y = 0; t.j.: 0 = a . (-7) + 7

a = 1

Rovnicou lineárnej funkcie prechádzajúcej bodmi A[0; 7] a B[-7;0] je: y = x + 7.

Otázky:

1. Vypočítaj obsah trojuholníka vymedzeného priamkou y = 3/2x + 6 so súradnicovými osami.

2. Urči graficky priesečník priamok y = -2x a y = x – 3.

Literatúra:

Vlastné poznámky