Vypracovala: Mária Martinkovičová
-
Jankova autodráha, široká 8 cm, sa na jednom mieste sa zatáča o 90°. Vnútorný polomer krivosti tejto zákruty je 32 cm; vonkajší 40 cm. Aký najväčší polomer môže získať Janko pri hre s autíčkami, ak nimi bude rezať zákrutu?
Riešenie:
Obr.1: Nákres „zákruty“ autodráhy: vnútorný polomer – 8 cm; vonkajší – 40; šírka dráhy – 8 cm
Podľa obrázku 1 vidíme, že hľadáme polomer x čiarkovanej kružnice dotýkajúcej sa vnútorného oblúku zákruty v bode T a priamok, ktoré sú vonkajšími okrajmi cesty a. Jej stred S má teda rovnakú vzdialenosť od bodu T i od priamky p.
Všimneme si šedý trojuholník – z neho dostaneme vzťah, ktorý upravíme:
x - 32 = √2 (x – 40) x =√2x - 40√2 + 32
x = 56 . √2
x = 59,3 cm
Ak bude Janko pri hre s autíčkami rezať zákruty maximálny polomer krivosti, ktorý dosiahne, bude približne 59,3 cm.
-
Okolo parku v tvare kruhu s polomerom 400 m je chodník šírky 6 m. Aká je plocha chodníka?
Riešenie:
Vieme že obsah kruhu vypočítame:
r = πr2
t.j. obsah kruhového parku:
400 = π.4002
Obsah parku spolu s chodníkom:
Sp+ch = π(r + 6)2 = π(400 + 6)2 = π(4062)
Obsah chodníka vypočítame ako rozdiel obsahu parku spolu s chodníkom a obsah samotného parku (bez chodníka): Sch = π(406)2 - π(400)2 = π(4062 - 4002) Sch = π(406 – 400)(406 + 400) Sch = 4836. π Sch = 15185,04 m2
Pri riešení sme využili vzorec z algebry: a2-b2=(a+b)(a-b)
Plocha chodníka okolo kruhového parku je 15 185, 04 m2.
-
Aký je obsah zelenej plochy na obrázku?
Obr. k pr. 3
Riešenie:
Obsah zelenej plochy = Szp vypočítame ako rozdiel obsahov kruhu s polomerom 8 cm a kruhu s priemerom 6 cm, t.j. polomerom 3 cm.
Szp = S8 – S3 Szp = π.82 – π.32 Szp = 172,7 cm2
Obsah zelenej plochy je 172,7 cm2.
-
Podložka má tvar výrezu medzikružia (na obr. žltá plocha). Polomer vnútornej kružnice je 9 cm, vonkajšej 17 cm a stredový uhol MVN je 240°. Aký je obvod a obsah tejto podložky?
Obr.: Podložka tvaru medzikružia Riešenie:
r1 = 9 cm r2 = 17 cm α = 240°
-
o = ?
Vieme, že dĺžku kružnicového oblúku vypočítame:
Obvod podložky (žltej časti na obr.) vypočítame ako súčet vonkajšieho (d2) a vnútorného (d1) kružnicového oblúka a úsečiek /MM´/ a / NN´/ - t.j. rozdiel polomerov:
o = d1 + d2 + 2.(17 – 9) o = 37,68 + 71,17 + 16 o = 124,85 cm
-
S = ?
Vieme, že obsah kruhového výseku vypočítame:
Obsah podložky vpočítame ako rozdiel dvoch kruhových výsekov: S2 – na obrázku žltá+modrá plocha a S1 – na obrázku modrá plocha: S = S2 – S1 S = 604,97 – 169,56 S = 435,41 cm2
Obvod podložky je približne 124,9 cm a obsah približne 435,4 cm2.
-
Koľko m2 trávnatého porastu potrebujeme kúpiť na pokrytie plochy tvaru medzikružia s polomermi 5,7 m a 3,2 m? Výsledok zaokrúhlite na celé metre smerom nahor.
Riešenie:
r1 = 3,2 m r2 = 5,7 m S = ? Obr. k pr. 5
Obsah medzikružia rátame podľa vzorca:
S = π(r22 – r12) S = π(5,72 – 3,22) S = π(32,49 – 10,34) S = 69,865 m2 = 70 m2
Na pokrytie plochy potrebujeme kúpiť 70 m2 trávnatého porastu.
-
Žiaci na telesnej výchove majú bežať 5000-covku. K dispozícii majú kruhovú dráhu s polomerom 50 m. Koľko kolečiek musia urobiť, aby prebehli 5000 m?
Riešenie:
Obvod kruhu – kruhovej dráhy – vypočítame podľa vzorca:
o = 2 πr o =2 . 3,14 . 50 o =314 m Zabehnutím 1 koliečka teda žiaci zabehnú 314 m. Aby zabehli 5000 m, musia zabehnúť: 5000 : 314 = 15,92; t.j. približne 16 koliečok.
Otázky:
1. Vypočítaj polomer štvrť-kruhu, ak jeho obsah sa rovná obsahu kruhu s polomerom 5,1 cm. 2. Aký je obsah medzikružia, ak polomer menšej kružnice je 18 m a vzdialenosť kružníc je 4 m? 3. Polomer vnútornej kružnice je 15 m, vzdialenosť kružníc 2% z neho. Vypočítaj obsah medzikružia.
Literatúra:
Vlastné poznámky http://www.icoachmath.com/ Koreňová, L.: Ako zvládnuť príjmacie skúšky z matematiky ľahšie a úspešnejšie, Aktuell, BA, 2007 Zdroje obrázkov:
Obr. 1: Koreňová, L.: Ako zvládnuť príjmacie skúšky z matematiky ľahšie a úspešnejšie, Aktuell, BA, 2007, s. 140 Ostatné: kreslené v skicáry