DEF: Lineárna rovnica s jednou neznámou x є R sa dá zapísať v tvare ax + b = 0, kde a, b є R, a ≠ 0.


Riešiť lineárnu rovnicu znamená nájsť hodnotu neznámej x.

 

Lineárna rovnica v tomto tvare má koreň: x = -b/a



Pri riešení lineárnych rovníc používame ekvivalentné úpravy:


  1. EÚ: Riešenie sa nezmení, ak k obom stranám pripočítame alebo odpočítame od oboch strán rovnaké číslo, alebo ten istý násobok neznámej.

  2. EÚ: Riešenie sa nezmení, ak obe strany vynásobím, alebo vydelím tým istým číslom rôznym od nuly.


Okrem ekvivalentných úprav používame aj jednu povolenú úpravu: Riešenie rovnice sa nezmení, ak obe strany vymeníme.


 

Počet koreňov:


Lineárna rovnica môže mať jeden koreň, žiadny koreň, alebo nekonečne veľa koreňov.

 

  1. Rovnica má práve jeden koreň, ak a ≠ 0, potom K = {-b/a}

  2. Rovnica nemá koreň, ak a = 0 a zároveň b ≠ 0, potom K = {}

  3. Rovnica má nekonečné množstvo koreňov, ak a = 0 a zároveň b = 0, potom K = R


 

Spôsob riešenia lineárnej rovnice:


  1. Výpočtom – používame povolenú alebo ekvivalentné úpravy

  2. Graficky – korene určíme ako priesečníky priamky funkcie; f: y = ax + b s osou x.


Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová;

 


Pozn: Riešenie rovnice si overíme v skúške správnosti.


 

Pr.1. Riešte rovnicu a urobte skúšku správnosti


a) 2x – 1 = 0 - riešte numericky (výpočtom) i graficky

 

Numericky:

 

2x – 1 = 0      / + 1              - 1.EÚ

2x = 1           / : 2               - 2. EÚ

x = ½


sk: ĽS = 2x – 1 = 2 . ½ - 1 = 1 – 1 = 0

     PS = 0

     ĽS = PS

K = {1/2}


 

Graficky:

 

f: y = 2x – 1

Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová

 

K = {1/2}




b) (3-y) / 2 – 1 = y – (y – 5) / 3 / . 6 2.EÚ – odstránenie zlomkov vynásobením spoločným menovateľom

 

3 . (3-y) -6 = 6y – 2(y-5)                   - roznásobenie zátvoriek

9 – 3y – 6 = 6y – 2y + 10                 - úprava ĽS a PS

      3 – 3y = 4y + 10 / + 3y,             - 10 1.EÚ

      3 – 10 = 4y + 3y

            -7 = 7y / : 7 2.EÚ

            -1 = y


 

Sk:

 

ĽS = (3-y) / 2 – 1 = (3- (-1)) /2 – 1 = 4/2 – 1 = 2 – 1 = 1

PS = y – (y – 5) / 3 = -1 – (-1 – 5) / 3 = -1 + 6/3 = -1 + 2 = 1

ĽS = PS

 

K = {-1}


 

 

c) x - 4[x – 2(x + 6)] = 5x + 3 - roznásobíme vnútornú zátvorku

 

x - 4[x – 2x - 12] = 5x + 3                  - roznásobíme vonkajšiu zátvorku

x – 4x + 8x + 48 = 5x + 3                  - úprava ĽS a PS

             5x + 48 = 5x + 3                  / -5x, -48 1.EÚ

                    0x = -45

 

K = {}


Pozn: Ak sa v príklade nachádza viacero párov zátvoriek, vždy odstraňujeme smerom zdnu von, teda najprv odstránime vnútorné zátvorky a nakoniec vonkajšiu zátvorku.


d) (3 + 2y) / 2 – 7/6 = 5y – (12y – 1) / 3 /.6

 

3.(3+2y) -7 = 30y -2.(12y -1)

9 + 6y – 7 = 30y – 24y + 2

      2 + 6y = 6y +2 / -6y -2

              0 = 0

 

K = R

 



Zopakujte si:
1. Aký tvar má lineárna rovnica s jednou neznámou?
2. Definuj ekvivalentné úpravy a povolenú úpravu.
3. Rieš rovnice a urob skúšky správnosti:
a) 3x – 1 = x + 1
b) (2x + 9) / 2 = 2x/3 – 1
c) x - 3[x – 5(x – 4)] = 10(x – 3)
d) (t + 5) / 3 – t/2 = (t – 2) / 3 – (t – 3) / 2
e) (6 + 25x) / 15 – (x – 1) = 2x / 3 + 7/5

Použitá literatúra:
www.wikipedia.org
vlastné poznámky
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA
Vejsada F. – Talafous F. – Sbírka úloh z matematiky pro gymnasia