Exponenciálne nerovnice

 Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová

Def: Exponenciálne nerovnice sú nerovnice, v ktorých sa neznáma nachádza v exponente.

Pri riešení exponencionálnych nerovníc používame niektorú z metód.

1. úprava na základný tvar

2. substitúciou

3. logaritmovaním

Pozn: Najčastejšie sa stretávame s prvou metódou, a preto si ukážeme jej riešenie:

1. úprava na rovnaký základ

Všetky mocniny v nerovnici treba upraviť na rovnaký základ: a^f(x) < a^g(x) , a > 0

Potom platí jedna z možností:

a) a є (0, 1) je f(x) > g (x)

Pr.1. Riešte v R nerovnicu

5^x.2^x < 0,1 . (10^x-1)³ - upravíme obe strany na rovnaký základný tvar

10^x < 10^-1. (10^x-1)³ - upravíme na jednu mocninu na pravej strane

10^x < 10^-1+3x–3

10^x < 10^3x–4

10 > 1 potom x < 3x – 4 - použijeme typ a) pre riešenie exponenciálnej nerovnice

                                          - riešime jednoduchú lineárnu nerovnicu

   2x > 4

     x > 2

P є (2, ∞) - dostali sme riešenie danej exponenciálnej nerovnice

Pr. 2. Riešte v R nerovnicu

(1/7)^3x-1 ≤ (1/49)^x+3 - upravíme obe strany na rovnaký základný tvar

(1/7)^3x-1 ≤ (1/7)^2x+6

0 < 1/7 < 1 potom 3x – 1 ≥ 2x + 6 - použijeme typ b) pre riešenie exponenciálnej nerovnice

                                                                    - riešime jednoduchú lineárnu nerovnicu

      x ≥ 7

  P є ‹7, ∞) - dostali sme riešenie danej exponenciálnej nerovnice

Pomôcka:

Ak je exponent menší ako 1, potom musíme otočiť znamienko nerovnosti a to preto, že vtedy je exponenciálna funkcia klesajúca:

x₁2 potom f(x₁)>f(x₂) práve vtedy, keď a^x1>a^x2; x₁2

Pozn: Pre počítane exponenciálnych rovníc a nerovníc používame mocninové vzťahy:

1. a^r . a^s = a^r+s

2. a^r : a^s = a^r-s

3. (a^r)^s = a^r.s

4. (a . b)^r = a^{r .} b^r

5. (a / b)^r = a^{r /} b^r

6. a^-r = 1/a^r

2. substitúciou

   
   

- pomocou substitúcie sa snažíme upraviť exponenciálne nerovnice na iný typ nerovníc – lineárne, kvadratické - ktoré vieme vyriešiť

Pr . 3. Riešte v R nerovnicu 9^x – 10.3^x + 9 < 0

- určíme podmienky x є R

- použijeme substitúciu: 3^x = y

y² – 10y + 9 < 0 - riešime kvadratickú nerovnicu metódou nulových bodov

(y – 9).(y – 1) < 0

y > 1                 y < 9

3^x > 1            3^x < 9 - vraciame sa do substitúcie

3^x > 3⁰          3^x < 3²

x > 0                x < 2

       x є (0,2)

3. logaritmovanie:

    

- nerovnica typu a^f(x) < b^g(x) s neznámou x є R pre a, b є R⁺ - {1} je ekvivalentom s nerovnicami:

1. f(x) . log_c a < g(x) . log_c b , pre c > 1

2. f(x) . log_c a > g(x) . log_c b , pre c > (0,1)

Pr . 4. Riešte v R nerovnicu 2^x ≤ 7

- určíme podmienky x є R

- základ 2 > 1, použijeme prvý typ exponenciálno - logaritmickej nerovnice

x . log₂2 ≤ log₂7

log₂2 = 1              potom              x ≤ log₂7

x є (-∞,log₂7)

Pozn: Analogicky postupujeme i vtedy, ak základ je menší ako 1 a väčší ako 0.

Použitá literatúra:

RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách

Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA

vlastné poznámky

www.wikipedia.org