Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová


 

 

DEF: Geometrické zobrazenie v rovine nazývame zhodné zobrazenie (zhodnosť), ak každému bodu X roviny je priradený práve jeden obraz X´ tak, že pre každé dve usporiadané dvojice [X,X´] a [Y,Y´] vzorov a obrazov platí: |X´Y´| = |XY|.



Rozlišujeme:


  • priamu zhodnosť – identita, translácia (posúvanie), rotácia (otáčanie), stredová súmernosť – zobrazí každý orientovaný uhol ako súhlasne orientovaný uhol.

  • nepriamu zhodnosť – osová súmernosť – zobrazí každý orientovaný uhol ako opačne orientovaný uhol.



 

Typy zhodných zobrazení:


  1. Identita

  2. Stredová súmernosť

  3. Osová súmernosť

  4. Translácia

  5. Rotácia

  6. Posunutá súmernosť


 

  1. Identita – I

 

- ide o zvláštny prípad zhodnosti, pri ktorom je obraz každého bodu X roviny ten istý bod X = X´.

 

 

  1. Stredová súmernosť – S

 

- Stredová súmernosť S so stredom S je priama zhodnosť, ktorá stredu S priraďuje ten istý bod S = S´ a každému bodu X ≠ S priraďuje taký bod X´, že bod S je stredom úsečky XX´.

- Je jednoznačne určená stredom S.

- Môžeme ju považovať za otáčanie S s uhlom otáčania ± 180°.

- Jediným samodružným bodom je jej stred S.

- Samodružnými priamkami sú všetky priamky, ktoré prechádzajú stredom S.

- Zachováva rovnobežnosť, vzdialenosť bodov, veľkosť uhlov, úsečiek a tvar útvarov.

 

 

  1. Osová súmernosť – O

 

- Osová súmernosť O s osou o je nepriama zhodnosť, ktorá je jednoznačne určená osou súmernosti o.

- Ak bod X leží na osi o, potom jeho obraz X = X´.

- Obrazom bodov X neležiacich na osi o sú body X´, ktoré ležia na kolmici k osi o, pričom úsečku XX´ rozdeľuje na polovicu.

- Samodružnými bodmi sú všetky body ležiace na osi súmernosti.

- Samodružnými priamkami sú os súmernosti a všetky priamke kolmé na os.

- Obrazom priamky rovnobežnej s osou o je rovnobežka s osou súmernosti.

 

 

  1. Translácia – T = posunutie

 

- Translácia je priama zhodnosť, ktorá je jednoznačne určená nenulovým vektorom posúvania u = AA´.

- Každému bodu roviny X je priradený jeho obraz X´ tak, že platí XX´= u.

- Veľkosť vektora posúvania určuje dĺžku posúvania, smer vektora posúvania určuje smer posúvania.

- Keďže u ≠ o, nemá translácia samodružné body.

- Samodružnými priamkami sú všetky rovnobežky s vektorom posúvania.

 

 

  1. Rotácia – R = otáčanie

 

- Rotácia je zhodné zobrazenie, je jednoznačne určené stredom otáčania S a orientovaným uhlom otáčania α, ktorého veľkosť je z intervalu (0°, 360°).

- Bodu S je priradený ten istý bod S´= S a každý bod roviny X ≠ S má obraz X´, pre ktorý platí |SX| = |SX´| a |‹ XSX´| = α.

- Obraz bodu X leží na kružnici otáčania k(S, r = SX), pričom jeho poloha je daná orientovaným uhlom otáčania |‹ XSX´| = α.

- Otáčanie má pre α = 360° všetky body samodružné, inak má jediný samodružný bod S.

- Samodružné priamky pre α ≠ 180°, α ≠ 360° nie sú nijaké, pre α = 180° sú samodružné všetky priamky prechádzajúce stredom S, pre α = 360° sú samodružné všetky priamky.

- Otáčanie vznikne zložením dvoch osových súmerností s rôznobežnými osami.

 

 

  1. Posunutá súmernosť – P

 

- Vznikne zložením troch osových súmerností, ktorých osi nepatria tomu istému zväzku priamok (napr. zložením stredovej a osovej súmernosti).

- Nemá nijaký samodružný bod.



 

Skladanie zhodných zobrazení:


  1. Zložením dvoch priamych alebo nepriamych zhodností vznikne priama zhodnosť.

  2. Zložením priamej a nepriamej zhodnosti vznikne nepriama zhodnosť.


Každé zhodné zobrazenie, ktoré nie je súmernosťou, môžeme vyjadriť ako zloženie dvoch zobrazení.


 

Poznámka:

 

Konštrukčné úlohy, v ktorých sa využíva zhodné zobrazenie sú väčšinou tzv. konštrukčné úlohy s dvoma neznámymi bodmi, pričom sa často požaduje zostrojiť útvar s určitými vlastnosťami.


 

 

Použitá literatúra:


RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách

Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA

Vlastné poznámky