Logaritmické nerovnice I.

 DEF: Logaritmiclé nerovnice nazývame také nerovnice, ktoré majú neznámu v argumente alebo v základe niektorého logaritmu.

 

Metódy riešenia logaritmických nerovníc:

 

1. úprava na rovnaký základ

2. použitie logaritmických viet o súčte a rozdielu logaritmov

3. substitúcia

 

 

1. úprava na rovnaký základ

Pozn: Logaritmické nerovnice riešime podobne ako logaritmické rovnice. Používame vzorce pre počítanie s logaritmami a snažíme sa upraviť nerovnicu tak, aby sme mohli použiť metódu odlogaritmovania. Rozdiel medzi počítaním rovníc a nerovníc spočíva ešte v rešpektovaní monotónnosti logaritmickej funkcie.

 

 

 

1. Pre  je funkcia  rastúca

 

t.j.

 

Pozn: znamienka nerovnosti sú rovnakého smeru

 

 

2. Pre  je funkcia  klesajúca

 

t.j.

 

Pozn: znamienka nerovnosti sú opačné

Pozn: Pri riešení logaritmických nerovníc musíme v prvom rade určiť podmienky riešiteľnosti, teda určíme definičný obor príslušnej logaritmickej funkcie.

 

Pr.1. Vyrieš nerovnicu log₂(x + 1) < 2

 

log₂ (x + 1) < 2

Podm.: a = 2 > 1

              x + 1 > 0

                     x > - 1

                    x є (-1, ∞)

Riešenie:

log₂(x + 1) < log₂2² - upravili sme na rovnaký základ

          x + 1 < 4 - riešime jednoduchú lineárnu nerovnicu

                 x < 3

            x є (-∞, 3) - urobíme prienik podmienok a riešenia lineárnej nerovnice

K є (-1, ∞) ∩ (-∞, 3) = (-1, 3)

 

Pr.2. Vyrieš nerovnicu log _½ (2x - 1) < -1

 

Podm.: a = 1/2 < 1

                 2x - 1 > 0

                          x > 1/2

                          x є (1/2, ∞)

Riešenie:

log _1/2(2x - 1) < log _1/2(1/2) ^-1 - upravili sme na rovnaký základ

             2x – 1 > (1/2)^-1 - riešime lineárnu nerovnicu

             2x – 1 > 2

                       x > 3/2

                 x є (3/2, ∞) - urobíme prienik podmienok a riešenia lineárnej nerovnice

K є (1/2, ∞) ∩ (3/2, ∞) = (3/2, ∞)

Zopakujme si:

1. Rieš nerovnice metódou úpravy na rovnaký základ:

    

1. log₃(3−x) > −3 

2. log₃ (x + 2) < log₃ (3- x)

3. log₃ (x + 4) < log₃ (5x - 4)

4. log_1/2 (x² – 2x + 4) > −2 

5. log_1/5 (5x - 1) > 0 

6. log 6/x > log (x + 5)

 

Zopakujte si:

1. Zadefinuj logaritmické nerovnice.
2. Aké metódy môžeme použiť pri riešené logaritmických nerovníc?

Použitá literatúra:

RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA
vlastné poznámky