Druhá metóda riešenia logaritmických nerovníc je použitie logaritmických viet o súčte, rozdielu, súčinu a podielu logaritmov.


 

Pre pripomenutie uvádzam dané logaritmické vety:

 

  1. logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov: loga x.y = loga x.+ loga y

  1. logaritmus podielu sa rovná rozdielu logaritmov: loga x:y = loga x.- loga y

  1. loga xk = k . loga x.

     

  2. loga b = 1 / logb a



Po použití logaritmických viet, upravíme ľavú stranu i pravú stranu nerovnice na tvar s jedným logaritmom a následne postupujeme porovnávaním argumentov.


 

 

Pr.1. Vyrieš nerovnicu log1/6 (x2 + 6) ≤ log1/6 x + log1/6 5


- určíme podmienky riešiteľnosti x2 + 6 > 0 a x > 0

 

- x2 + 6 je vždy kladný výraz, teda x є R a x > 0

 

P: x = (0, ∞)


- použitím vety o logaritme súčinu upravíme pravú stranu na jeden logaritmus


log1/6 (x2 + 6) ≤ log1/6 5 . x

 

1/6 < 1 potom x2 + 6 ≥ 5 . x

 

x2 – 5x + 6 ≥ 0 - riešime kvadratickú nerovnicu pomocou nulových bodov


(x – 2)(x – 3) ≥ 0

      NB: 2 a 3



x є (-∞, 2› U ‹3, ∞) – riešenie kvadratickej nerovnice

 

- výsledné riešenie dostaneme ako prienik podmienok a riešenia kvadratickej nerovnice

 

K = P ∩(-∞, 2› U ‹3, ∞) = (0, ∞) ∩ ((-∞, 2› U ‹3, ∞)) = (0, 2› U ‹3, ∞)



 

Pr.2. Vyrieš nerovnicu 2 . log (x -1) ≥ ½ . (log x5 - log x)

 

- určíme podmienky logaritmických funkcií na ľavej aj pravej strane, a urobíme prienik jednotlivých čiastkových podmienok:

 

x – 1 > 0 x5 > 0 x > 0

          x > 1

x є (1, ∞) ∩ x є (0, ∞) ∩ x є (0, ∞)

 

P: x є (1, ∞)

 

- použitím logaritmickej vety o k násobku logaritmu na oboch stranách a vetyo súčte logaritmov na pravej strane, upravíme nerovnice tak, aby na oboch stranách bol iba jeden logaritmus


2 . log (x -1) ≥ ½ . (log x5 - log x)

 

2 . log (x -1) ≥ ½ . log x4 - použili sme vetu o súčte logaritmov

 

log (x -1)2 ≥ log x4/2 - použili sme vetu o k-násobku logaritmu

 

10 > 1 potom (x -1)2 ≥ x2 - základ je väčší ako 1, teda znamienko nerovnosti nemeníme a porovnávame argumenty logaritmov

 

x 2 - 2x + 1 - x2 ≥ 0

 

-2x + 1 ≥ 0 - riešime lineárnu nerovnicu

 

2x ≤ 1

 

x ≤ ½

 

x є (-∞, 1/2› - riešenie lineárnej nerovnice

 

- výsledné riešenie dostaneme ako prienik podmienok a riešenia lineárnej nerovnice

 

K = P ∩ (-∞, 1/2› = (1, ∞) ∩ (-∞, 1/2› = {}



Pozn: Analogicky vieme riešiť logaritmické nerovnice s použitím ostatných viet.



Treba si pamätať postup:


  • podmienky – ak je potrebné, urobíme prienik čiastkových podmienok

  • použijeme potrebné logaritmické vety

  • porovnaním argumentov riešime buď lineárnu alebo kvadratickú nerovnicu

  • určíme množinu riešenia ako prienik podmienok a čiastkového riešenia



 

Zopakujme si:

 

  1. Rieš nerovnice:

     

  1. log(x + 3) + log (x – 3) ≥2 . log (x + 1)

  2. log (7x + 6) ≥ 1 + log (3x – 4)

  3. log4/5 (2x + 4) - log4/5 (x - 3) ≥ log4/5 7

  4. 2 . log0,2 (x + 1) < log0,2 (11 - x)

 



Zopakujte si:
1. Vymenuj základné vety o počítaní s logaritmami.
2. Popíš postup pri riešení logaritmických nerovníc.

Použitá literatúra:
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA
vlastné poznámky