Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová


 

 

V obore racionálnych čísel sa nedá robiť bez obmedzovania odmocňovanie kladných čísel. Neexistujú zlomky, ktorými by sme zapísali dĺžku uhlopriečky štvorca jednotkovej dĺžky, hodnotu sin π/3 atď. Preto boli zavedené iracionálne čísla, ktoré dopĺňajú racionálne čísla na obor reálnych čísel R.


 

Zjednodušene: Množinu reálnych čísel tvorí zjednotenie racionálnych a iracionálnych čísel.


√2 = 1,41421...., π = 3,1416... – sú neperiodické desatinné čísla


V obore reálnych čísel R je každé reálne číslo znázornené na číselnej osi práve jedným bodom a, naopak, každý bod číselnej osi je obrazom jedného reálneho čísla.



 

Množina reálnych čísel má nasledovné vlastnosti:


  1. Je usporiadaná, pre každé dve reálne čísla a, b platí práve jeden zo vzťahov: a = b, alebo a < b, alebo a > b .

  2. Medzi dvomi ľubovoľnými reálnymi číslami a, b, pre ktoré platí a < b, existuje aspoň jedno reálne číslo c tak, aby a < c < b.

  3. Je uzavretá vzhľadom na súčet, rozdiel, súčin a podiel, t.j. súčet, rozdiel, súčin a podiel reálnych čísel je reálne číslo.

  4. Množinu reálnych čísel je možné znázorniť na číselnej osi.

  5. Ku každému reálnemu číslo existuje jeho absolútna hodnota.

  6. Každé nezáporné reálne číslo má druhú odmocninu, ktorá je tiež reálne číslo. Naopak, žiadne záporne reálne číslo nemá druhú odmocninu, ktorá by bola reálne číslo.



 

Vzdialenosť obrazu reálneho čísla od počiatku číselnej osi udáva absolútnu hodnotu reálneho čísla |a|, ktorá je definovaná:


a ≥ 0, |a| = a

a < 0, |a| = - a



 

Vlastnosti absolútnej hodnoty:


  1. Pre každé reálne číslo a platí |a| ≥ 0, |- a| = |a|, |a| ≥ a, |a| ≥ -a

  2. Pre každé dve reálne čísla a, b platí: |a . b| = |a| . |b|

|a / b| = |a| / |b|

|a + b| ≤ |a| + |b|, b ≠ 0



Každé iracionálne číslo je vyjadrené nekonečným neperiodickým desatinným rozvojom. V praxi určujeme iracionálne číslo pomocou jeho aproximácie, predpisom, ktorý umožní vypísať číslicu na ľubovoľnom mieste desatinného rozvoja, popr. pracujeme so zaokrúhlenou hodnotou reálneho čísla alebo s odmocninami.

 


 

Zaokrúhľovanie čísla a na jednotky daného rádu k (na desatiny, tisíciny, stovky, ...) robíme nasledovne:


  • všetky číslice nižších rádov vynecháme a vypustené číslice nahradíme nulami

  • ostatné číslice ponecháme s prípadnou zmenou podľa pravidiel zaokrúhľovania:

  1. ak je prvá z vypustených číslic menšia ako 5, potom sa posledná číslica nemení – hovoríme o zaokrúhľovaní nadol

  2. ak je prvá z vypustených číslic väčšia ako 5, potom sa posledná číslica zväčší o 1 – hovoríme o zaokrúhľovaní nahor.



 

Vlastnosti reálnych čísel:


Pre každé a, b, c є R platí:

 

1. Komutatívny zákon:


a + b = b + a

a . b = b . a


 

2. Asociatívny zákon:


(a + b ) + c = a + ( b + c )

(a . b) . c = a . (b . c)



 

3. Distributívny zákon:


a . (b + c ) = a.b + a. C



 

4. a . b = 0 <=> (a = 0 V b = 0)


 

5. a/b = 0 <=> (a = 0 ^ b ≠ 0)


 

6. vlastnosť 0, 1


a + 0 = a

a . 1 = a


 

7. monotónnosť sčítania vzhľadom k nerovnosti:


a < b , tak a + c < b + c



 

8. tranzitívnosť


a < b a b < c , tak a < c



 

Použitá literatúra:

 

www.wikipedia.org

Z. Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA

vlastné poznámky