Súčtové vzorce:

 

pre každé x, y є R

 

 

  1. sin(x + y) = sin x . cos y + cos x . sin y

  2. sin(x – y) = sin x . cos y – cos x . sin y

  3. cos(x + y) = cos x . cos y – sin x . sin y

  4. cos(x - y) = cos x . cos y + sin x . sin y


 

pre prípustné hodnoty x, y

  1. tg(x + y) = (tg x + tg y) / (1 – tg x . tg y)

  2. tg(x - y) = (tg x -tg y) / (1 + tg x . tg y)



 

Použitie:


  • úprava a zjednodušenie goniometrických výrazov

  • riešenie goniometrických rovníc alebo nerovníc

  • výpočet hodnôt goniometrických funkcií

  • dôkazy



 

Pr. 1. Vypočítaj hodnotu funkcie bez použitia kalkulačky a tabuliek

 

  1. sin 105°= ?

 

sin 105°= sin(60°+ 45°) = sin60°.cos45°+ cos60°. sin45°= √3/2 . √2/2 + ½ . √2/2 = √2 / 4(√3 + 1)


 

Postup:


  • použijeme sínusový súčtový vzorec pre súčet uhlov, pretože hodnoty sin a cos pre 60°a 45°by sme mali ovládať spamäti

  • rozpíšeme daný vzorec

  • vyčíslime hodnoty funkcií

  • upravíme číselný výraz do konečného výsledku


 

  1. tg 15°= ?

tg 15°= tg (45°- 30°) = (tg45°- tg30°) / (1 + tg45°.tg30°) = (1 - √3/3) / (1 + √3/3) = 2 - √3

 

Postup:


  • použijeme vzorec pre výpočet tangensu súčtu stupňov

  • rozpíšeme vzorec

  • dosadíme hodnoty

  • upravíme číselný výraz

  • dostaneme výsledok



 

Pr. 2. Zjednoduš dané výrazy:

 

  1. cos(x + 2π/3) = ?

cos(x + 2π/3) = cos x . cos 2π/3 – sin x . sin 2π/3 = cos x (-cos π/3) – sin x sin π/3 = -1/2 cos x - √3/2 sin x


 

Postup:


  • rozpíšeme výraz podľa príslušného vzorca

  • vyjadríme známe hodnoty bez použitia kalkulačiek a tabuliek


 

  1. cos x + cos(x + 2π/3) + cos(x + 4π/3) = ?

cos x + cos x . cos 2π/3 – sin x . sin 2π/3 + cos x . cos 4π/3 – sin x . sin 4π/3 = cos x + cos x (-cos π/3) – sin x sin π/3 + cos x (-cos π/3) – sin x (-sin π/3) = cos x -1/2 cos x - √3/2 sin x -1/2 cos x +√3/2 sin x = cos x – cos x = 0


  • použijeme iba vzorec pre kosínus a pre odčítanie argumentov

  • upravujeme výraz, vyčíslime známe hodnoty

  • dostaneme výsledok

 

 



Zopakujte si:
1. Vymenuj všetky súčtové vzorce pre x a y reálne čísla.
2. Vymenuj súčtové vzorce iba pre prípustné hodnoty x a y.
3. Vypočítaj hodnotu funkcie bez použitia kalkulačky a tabuliek
a) sin π/12 =
b) tg 5π/12 =
c) cos 2x =
d) cos 75°=
e) cos 15°=
4. Zjednoduš dané výrazy:
a) sin (45°+ y) – sin (45°- y) =
b) tg (x +y) = , ak tg x = -2, tgy = 1/3
c) tg (x – y) =, ak tg x = -2, tgy = 1/3
d) sin (x + y) + cos (x – y) =
e) tg (π/4 + y). tg (π/4 – y) =

Použitá literatúra:
Vlastné poznámky
www.wikipedia.org
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA