Na úpravu a zjednodušenie goniometrických výrazov môžeme použiť okrem iných vzťahov aj vzťahy medzi funkciami, ktoré majú rovnaký argument. Tieto vzťahy ďalej môžeme použiť i pri riešení goniometrických rovníc, či nerovníc alebo pri výpočte hodnôt goniometrických funkcií, či napr., v dôkazoch.


Pri úpravách a zjednodušovaní goniometrických výrazov určujeme a riešime podmienky pre premenné, pri ktorých má daný výraz zmysel.


 

 

Vzťahy medzi goniometrickými funkciami rovnakého argumentu


1. vzťah: sin2x + cos2x = 1 pre každé x є R

2. vzťah: tg x = sin x / cos x x ≠ π/2 + kπ, k є Z

3. vzťah: cotg x = cos x / sin x x ≠ kπ, k є Z

4. vzťah: tg x . cotg x = 1 x ≠ k.π/2, k є Z



 

Pr. 1. Zjednoduš dané výrazy:

 

  1. sin2x + cos2x + tg2x = ?


sin2x + cos2x + tg2x = 1 + sin2x / cos2x = (cos2x + sin2x) / cos2x = 1 / cos2x


 

Postup:


  1. použijeme prvý vzťah, kde prvé dva členy dávajú dokopy 1

  2. následne druhý vzťah na vyjadrenie funkcie tangens pomocou funkcií sínus a kosínus

  3. spočítame pomocou úpravy na spoločný menovateľ

  4. opätovným požitím prvého vzťahu dostaneme výsledok

 

 

  1. (tg x . cos2x) / ( 1 - cos2x) = ?

 

(tg x . cos2x) / ( 1 - cos2x) = ( sin x/cos x. cos2x) / sin2x = (sin x . cos x) / sin2x = cos x / sin x = cotg x


 

Postup:


  1. použijeme vzorec pre vyjadrenie funkcie tangens pomocou sínusu a kosínusu a zároveň tiež vzorec o súčte druhých mocnín funkcie sínus a kosínus – dostávame zložený zlomok

  2. v čitateli vykrátime a dostaneme obyčajný zlomok

  3. následne opätovne krátime a dostaneme funkciu kotangens vyjadrenú pomocou funkcií kosínus a sínus

  4. zapíšeme skrátený výsledok


 

  1. (sin x – sin3x) / (cos x – cos3x) = ?

 

(sin x – sin3x) / (cos x – cos3x) = {sin x (1 – sin2x)} / {cos x (1 – cos2x)} = (sin x . cos2x) / (cos x . sin2x) = cos x / sin x = cotg x


 

Postup:


  1. v čitateli i v menovateli vyberieme pred zátvorku

  2. vnútorná zátvorka je odvodenie z prvého vzťahu

  3. vykrátime čitateľa i menovateľa

  4. dostávame funkciu kotangens zapísanú pomocou funkcií sínus a kotangens.

  5. zapíšeme výsledok


 

 

 

Zopakujme si:

 

  1. Vymenuj všetky vzťahy medzi goniometrickými funkciami rovnakého druhu.

  2. Kde všade môžeme použiť dané vzťahy – uveď aspoň tri príklady.

  3. Zjednoduš dané výrazy:

  1. (1 – cos2x) / (sin x . cos x) =

  2. tg2x / (1 + tg2x) =

  3. (1 + tg2x) / (1 + cotg2x) =

  4. cotg2x / (1 + cotg2x) =

  5. tg2x / (1 + tg2x) + cotg2x / (1 + cotg2x) =

  6. sin2x / (1 + cosx) =

  7. (1 + tg2x) . cos2x =



Použitá literatúra:
Vlastné poznámky
www.wikipedia.org
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA