Goniometria ostrého uhla – riešené príklady

Vypracovala: Mária Martinkovičová

Zopakujme si základné goniometrické funkcie definované v pravouhlom trojuholníku:

Sínus uhla (sin) je pomer veľkosti protiľahlej odvesny ku prepone.

Kosínus uhla (cos) je pomer veľkosti priľahlej odvesny ku prepone.

Tangens uhla (tg) je pomer veľkosti protiľahlej odvesny k priľahlej odvesne.

1. V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C je veľkosť vnútorného uhla pri vrchole B 45° a dĺžka odvesny a je 56 cm. Vypočítajte dĺžku druhej odvesny.

Riešenie:

a = 56 cm

Dĺžka druhej odvesny je 56 cm.

2. Pozemná lanovka rovnomerne stúpa pod uhlom 15°. Výškový rozdiel medzi dolnou a hornou stanicou je 450 m. Vypočítajte dĺžku dráhy lanovky.

Riešenie:

Potrebujeme vypočítať dĺžku trate lanovky – d, teda najjednoduchšie bude použiť vzťah pre výpočet sínusu uhla stúpania:

sin 15° = 450 m/d

d = 450 m/sin 15°

d = 450 m/0,2588

d = 1738,79 m

Dĺžka trate lanovky je 1738,79 m.

3. Andrej púšťal šarkana na šnúre dlhej 50m. V jednej chvíli bol uhol napnutej šnúry od vodorovnej zeme 30°. Vypočítajte, v akej výške sa v tej chvíli šarkan vznášal.

Riešenie:

v = sin 30° . 50 m

Šarkan sa v danej chvíli vznášal vo výške 25 m.

4. Povrch rotačného kužeľa je 48πdm², polomer podstavy 4 dm. Vypočítajte veľkosť uhlu, ktorý zviera strana kužeľa s rovinou podstavy?

Riešenie:

r = 4 dm

Obsah kužeľa počítame ako súčet obsahu podstavy a plášťa, teda:

S = πr(r + s)

s = 8 dm

Poznáme teraz veľkosť prepony (s) a priľahlej odvesny (r), t.j.

cos α = r / s = 4 / 8 = 0,5

α = 60°

Strana kužeľa s rovinou podstavy zviera uhol 60°.

5. Daný je rovnoramenný trojuholník s obsahom 12 cm² a dĺžkou základne 6 cm. Vypočítajte sínus vnútorného uhla pri základni.

Riešenie:

S = 12 cm²

sin α = ?

Aby sme mohli počítať sínus uhla, musíme poznať veľkosť protiľahlej odvesny k danému uhlu a veľkosť prepony, teda:

Zo vzorca pre obsah rovnoramenného trojuholníka S = (c . v_z)/2 si vypočítame výšku trojuholníka v_z: v_z = 4 cm.

Teraz si použitím Pytagorovej vety vypočítame veľkosť prepony (b), t.j.:

Potom už sínus požadovaného uhla:

6. Daný je pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C s odvesnami a = 4 cm, b = 3 cm. Bod D je stredom strany BC, pričom uhol α = ˂ CAD; β = ˂ABC.

Vypočítajte:

a) 5 . cos β + 6 . tg α;

b) 2 . tg β – 3 . tg α;

c) 4 . sin β – 2 . tg β

d) √13 (sin α + 3 cos α)

Riešenie:

Na začiatok potrebujeme poznať veľkosť prepony, ktorú vypočítame pomocou Pytagorovej vety: c² = a² + b² → c² = 4² + 3²; t.j. c = √25 = 5 cm.

Ďalej si definujeme pre uhly α a β goniometrické funkcie:

Teraz už len dosadíme do zadania a vypočítame:

Otázky:

1. Aká dlhá je pristávacia dráha na letisku, ak vo výške 1,2 km vidieť jej začiatok pod hĺbkovým uhlom 58° a koniec pod hĺbkovým uhlom 27°?

2. Aký vysoký je komín, ak zo vzdialenosti 60 metrov vidíme jeho vrchol pod uhlom 60°?

    

Literatúra: