Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

 


  1. Na ceste z Košíc do Bratislavy Jožko narátal 134 kusov dopravných značiek tvaru rovnostranného trojuholníka s veľkosťou strany pol metra. Vypočítajte, koľko metrov štvorcových plechu bolo treba na ich výrobu, v prípade, že zanedbáte odpad.

 

Riešenie:

 

Vieme že:

 

  • rovnostranný trojuholník má všetky strany rovnako dlhé, t.j. a = b = c = 0,5 m

  • obsah rovnostranného trojuholníka počítame podľa vzorca:

 

Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

teda povrch jednej značky:

 

S = (0,52 . √3)/4 = 0,10825 m2

 

  • Veľkosť plechu v m2 na výrobu 134 kusov značiek:

 

S134 = 0,10825 . 134 = 14,51 m2


Na výrobu 134 dopravných značiek bolo potrebných približne 14,51 m2 plechu.


 

 

  1. Na mape s mierkou 1 : 50 000 je cesta od chaty (nachádzajúcej sa v nadmorskej výške 460 m n.m.) na vrchol najbližšieho kopca (960 m n.m.) znázornená úsečkou 2,4 cm dlhou. Aká je vzdialenosť od chaty na vrchol kopca v skutočnosti?

 

Riešenie:


Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

Skutočnú dĺžku cesty od chaty na vrchol kopca s vypočítame pomocou Pytagorovej vety:

 

s2 = 1,22 + 0,52

s2 = 1,44 + 0,25

s = √1,69

s = 1,3 km


Od chaty na vrchol najbližšieho kopca je v skutočnosti 1,3 km.


 

 

  1. V trojuholníku KLM je vonkajší uhol pri vrchole K 69°35´, vonkajší uhol pri vrchole L je 134°49´. Vypočítajte veľkosť vnútorného uhla pri vrchole M.


Riešenie:

 

Vieme, že:

 

  • súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180°;

  • veľkosť vnútorného uhla vypočítame, ak od 180° odpočítame veľkosť vonkajšieho uhla.

 

Teda:

 

Veľkosť vnútorného uhla pri vrchole K: 180° - 69°35´ = 110°25´

Veľkosť vnútorného uhla pri vrchole L: 180° - 134°49´ = 45°11´

Veľkosť vnútorného uhla pri vrchole M: 180° - 110°25´ - 45°11´ = 24°24´.

 

 

 

  1. Vypočítajte veľkosť úsečky PR na obrázku:

 

Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

Riešenie:

 

Najskôr si vypočítame dĺžku úsečky /OT/. Pomer strán /PO/ a /OT/ v ΔPOT je rovnaký ako pomer strán /RS/ a /ST/ v ΔRST. T.j.:

 

Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

Teraz si môžeme vypočítať veľkosť úsečky /OS/: /OT/ - /ST/ = 9 – 6 = 3 cm. Veľkosť úsečky /OS/ je taká istá ako /UR/, veľkosť /PU/ = 12 – 8 = 4 cm. Pomocou Pytagorovej vety si vypočítame veľkosť /PR/ v trojuholníku PRU:


u2 = p2 + r2

u2 = 32 + 42

u = 5 cm = /PR/


 

 

  1. Majme pravouhlý trojuholník KLM, s pravým uhlom pri vrchole M. Vypočítajte veľkosť ťažnice tm ak /KM/ = 6 cm a /LM/ = 8 cm.


Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

k = 8 cm

l = 6 cm

m = ?

tm = ?

 

Stranu m vypočítame pomocou Pytagorovej vety: m2 = k2 + l2, t. j. m = 10 cm. Ťažnica prepolí preponu na polovicu, takže dostaneme trojuholník KSM, kde /KS/ = 5 cm (polovica prepony), /KM/ = 6 cm (zadané), /MS/ je ťažnica, ktorú musíme vypočítať. Proti ťažnici, t.j. pri vrchole K je uhol α, ktorý vypočítame: cos α = l/m = 6/10 = 0,6. Takto poznáme v trojuholníku KSM dve strany a uhol nimi zovretý. Na výpočet tretej strany v ΔKSM použijeme kosínusovú vetu:

 

Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

T.j. v našom prípade:

 

Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

Iný postup riešenia je cez Tálesovu kružnicu. Cez Pytagorovu vetu si vypočítame preponu, ktorá je zároveň priemerom Tálesovej kružnice, t.j. ťažnica je jej polomer teda polovica prepony. (Na obr. – strana KL je priemer Tálesovej kružnice a zároveň prepona trojuholníka).


Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

Veľkosť ťažnice je 5 cm.

 

 

 

  1. Vypočítajte obsah trojuholníka ABC, ak súradnice jeho vrcholov sú: A[1; -3] B[6; 2] C[-4; 4].

 

Riešenie:

 

Ak si trojuholník nakreslíme, riešenie je jasné z obrázku:

 

Vypracovala: Mária Martinkovičová


Trojuholníku sme opísali obdĺžnik. Za predpokladu, že jeden dielik sa rovná 1 cm, spočítaním dielikov získame strany obdĺžnika: 10 cm a 7 cm – teda obsah obdĺžnika je 10 . 7 = 70 cm2. Opísaním obdĺžnika sme získali tri ďalšie (oranžové) pravouhlé trojuholníky: ACD, ABE a BCF. Ich obsahy vypočítame vzťahom pre výpočet obsahu pravouhlého trojuholníka: S = (a.b)/2, t.j. obsah ΔACD = (7 . 5)/2 = 17,5 cm2; ΔABE = 12,5 cm2; ΔBCF = 10 cm2.

 

Obsah trojuholníka ABC – (na obr. zelená plocha) vypočítame ako rozdiel obsahov obdĺžnika opísaného trojuholníku a na obrázku oranžových trojuholníkov ACD, ABE a BCF. T.j. 70 – 17,5 – 12,5 – 10 = 30 cm2.

 

Obsah daného trojuholníka je 30 cm2.


 

 

Otázky:

 

  1. Ak v trojuholníku KLM poznáme strany /KM /= 8 cm, /LM/ je 10 cm a výška na stranu m je 6,5 cm, aká je dĺžka úsečky /KL/?

  2. Dá sa do kruhu s priemerom 8 cm vpísať trojuholník s obsahom 25 cm2?

 

 

 

Literatúra:

 

Vlastné poznámky

Koreňová L.: Zvládni prijímacie skúšky z matematiky na stredné školy ľahšie a úspešnejšie, Aktuell, BA, 2007

Soósová, H.: Testy a úlohy z matematiky, Opakovanie učiva ZŠ, Varia Print, Komárno 2008

 

 

 

Obrázky:

 

vlastné zdroje /skicár/