Pre každé x є R platí:

 

  1. sin 2x = 2 . sin x . cos x

  2. cos 2x = cos2 x – sin2 x

  3. tg 2x = 2 / (cotg x – tg x) = 2tg x / (1 – tg2 x) - pre prípustné hodnoty x

  4. cotg 2x = (cotg x – tg x) / 2 = (cotg2 x - 1) / 2 cotg x - pre prípustné hodnoty x


 

Pr . 1 . Určte hodnotu sin 2α, ak je dané sin α = -4/5, cos α > 0.

 

Riešenie:


sin 2α = 2 sin α . cos α = 2 . (-4/5) . cos α


Zo vzorca sin2α + cos2α = 1 vyjadríme hodnotu funkcie cos α.


cos α = ± √(1 – sin2α), keďže cos α > 0, potom berieme do úvahy iba kladnú odmocninu

 

cos α = √(1 – sin2α) = √(1 – (-4/5)2 ) = √(1 – 16/25 ) = √(25-16)/25 = √9/25 = 3/5


Po vyjadrení hodnoty funkcie cos. Dosadíme do vzťahu sin2α a vypočítame jej hodnotu.

 

2 . (-4/5) . cos α = 2 . (-4/5) . 3/5 = - 2.4.3 / 5.5 = -24/25


 

 

Pr . 2. Vypočítajte:

 

cos π/3 = ?

 

cos π/3 = cos2 π/6– sin2 2π/6 = ¾ - ¼ = ½


  • použili sme vzorec pre výpočet dvojnásobného argumentu funkcie kosínus (2)

  • upravili číselné hodnoty

  • vyčíslili hodnotu funkcií pre daný argument

  • vypočítali

 

 

 

Pr . 3. Zjednodušte výraz: (1 – cos2x + sin 2x) / (1 + cos 2x + sin 2x) = ?

 

(1 – cos2x + sin 2x) / (1 + cos 2x + sin 2x) = (1 – cos2x + sin2x + 2 . sin x cos x) / (1 + cos2x - sin2x + 2 . sin x cos x) = (1 – 1 + sin 2x) / (cos2x + cos2x + sin 2x) = sin 2x / (2 cos2x + sin 2x)


  • použili sme vzťahy pre dvojnásobné argumenty funkcií sínus a kosínus , stačilo by iba pre kosínus

  • použili sme vzťah pre súčtový vzorec cos2x + sin2x = 1

  • upravili sme výrazy a dostali výsledok

 



Zopakujte si:
1. Aký vzťah platí pre sínus dvojnásobného argumentu?
2. Aký vzťah platí pre kosínus dvojnásobného argumentu?
3. Aký vzťah platí pre tangens dvojnásobného argumentu?
4. Aký vzťah platí pre kotangens dvojnásobného argumentu?
5. Vypočítaj:
a) sin π/3 =
b) tg π/3 =
c) cotg π/3 =
6. Určte a) sin 2x, b) cos 2x, c) tg 2x, ak cos x = √(3/7), 3π/2 < x < π

Použitá literatúra:
Vlastné poznámky
www.wikipedia.org
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA