Postupnosti

Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová

DEF: Postupnosť je funkcia definovaná v množine prirodzených čísel N. Jej definičným oborom je podmnožina prirodzených čísel.

• Funkčné hodnoty f(n) = a_n postupnosti priradené prirodzenému číslu n sa nazývajú členy postupnosti a označujeme ich a_n, b_n.....

• a_n – je n – tý člen postupnosti

• n udáva poradie člena a_n v postupnosti

Ozn. _{a_n}^k_n=1 alebo ₍a_n)^∞_n=1

Rozlišujeme konečnú a nekonečnú postupnosti.

1. Konečná postupnosť sa zapisuje a₁, a₂, a₃, ...... a_{k = {}a_n}^k_n=1

Definičným oborom je množina prvých k prirodzených čísel.

2. Nekonečná postupnosť sa zapisuje a₁, a₂, a₃, ...... a_{n = {}a_n}^∞_n=1, resp. ₍a_n)^∞_n=1

Definičným oborom je celá množina prirodzených čísel.

• nie je správne zapísať nekonečnú postupnosť vymenovaním prvých napr. troch členov a ďalej ju vyjadriť bodkami, i napriek tomu, že sa to často používa.

Podľa charakteru členov postupnosti tie rozdeľujeme na číselné alebo funkcionálne postupnosti.

1. číselná postupnosť – jej členmi sú čísla.

2. funkcionálna postupnosť – jej členmi sú funkcie

Grafom postupnosti je rad izolovaných bodov so súradnicami [n; a_n ], kde n є N.

Postupnosť môže byť znázornená:

• na číselnej osi – znázornime iba hodnoty členov postupnosti

• v karteziánskej sústave – znázorníme celé izolované body [n; a_n ]

Postupnosť môže byť zadaná viacerými spôsobmi:

• slovným predpisom

• vymenovaním prvkov – možné iba pri konečných postupnostiach

• graficky - možné iba pri konečných postupnostiach

• vzorcom pre n – tý člen

• rekurentným vzorcom

Pozn.: rekurentný vzorec znamená, že zadané sú prvé členy a vzťah na výpočet ďalších členov pomocou predchádzajúcich členov.

Vlastnosti postupnosti:

1. rastúca postupnosť <=> pre všetky n є N platí a_n+1 > a_n

2. klesajúca postupnosť <=> pre všetky n є N platí a_n+1 < a_n

3. nerastúca postupnosť <=> pre všetky n є N platí a_n+1 ≤ a_n

4. neklesajúca postupnosť <=> pre všetky n є N platí a_n+1 ≥ a_n

• v prípade 1. a 2 je postupnosť rýdzo monotónna, v prípadoch 3 a 4 hovoríme o monotónnej postupností.

5. ohraničená zhora <=> existuje také h є R, že pre každé n є N je a_n ≤ h

6. ohraničená zdola <=> existuje také d є R, že pre každé n є N je a_n ≥ d

• ak je postupnosť ohraničená zhora a zároveň zdola, potom hovoríme o ohraničenej postupnosti.

Použitá literatúra:

RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách

Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA

vlastné poznámky

www.wikipedia.org