Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová

 

 

 

Vektor môžeme definovať ako posunutie. Všetky orientované úsečky, ktoré majú ten istý smer a tú istú veľkosť, znázorňujú ten istý vektor.


Súradnice vektora: Ak u = AB, A [a1, a2, a3], B[b1, b2, b3] súradnicami vektora u v danej sústave súradníc nazveme usporiadanú trojicu čísel b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3 .( v priestore)

 

u = [b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3]

 

DEF: Daných je n ľubovoľných vektorov v1, v2, .....,vn. Každý vektor v = a1.v1 + a2.v2 + ...............+ an.vn, kde a1, a2, .....,an sú reálne čísla, nazývame lineárnou kombináciou vektorov v1, v2, .....,vn..


Pozn.: Pomocou pojmu lineárna kombinácia vektorov sa definujú pojmy lineárna závislosť a lineárna nezávislosť vektorov.

 

Napr. Ak z = k . a + l . b, kde k, l є R, hovoríme, že vektor z je lineárnou kombináciou vektorov a, b.

 


DEF: Vektory u, v, w, ...,z sa nazývajú lineárne závislé práve vtedy, keď aspoň jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných. Hovoríme tiež, že sústava vektorov u, v, w , ...,z je lineárne závislá.

 

Pozn.: Ak je jeden z vektorov nulový, potom sú vektory sústavy lineárne závislé, pretože nulový vektor môžeme pokladať za lineárnu kombináciu ľubovoľných vektorov.


Pozn.: Množina vektorov, ktorá je lineárne závislá, ostane lineárne závislá aj po pridaní ďalšieho vektora.


Veta 1: Vektory u, v, w,..., z sú lineárne závislé práve vtedy, keď rovnica k1.u + k2.v + k3.w + ..... + kn.z = 0 platí pre čísla k1, k2, k3, ....kn, z ktorých aspoň jedno číslo je rôzne od nuly.


Veta 2: Vektory u, v, w,..., z sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď rovnica k1.u + k2.v + k3.w + ..... + kn.z = 0 je splnená len pre k1= k2 = k3 =....= kn = 0.


Pozn.: Vektory u a v sú v rovine lineárne závislé práve vtedy , keď existujú také čísla k1 , k2, že aspoň jedno z nich je rôzne od nuly a zároveň platí k1.u + k2.v = 0.


Po matematických úpravách môžeme dostať vzťahy:

 

v = - k1 / k2 . u = t . u , kde t = - k1 / k2


Z toho môžeme dedukovať, že vektory, u, v sú lineárne závislé v rovine práve vtedy, keď jeden z nich je číselným násobkom druhého, alebo keď ležia na jednej priamke, čiže sú kolineárne.


DEF: Kolineárnosť bodov: Body A, B, C, nazveme kolineárnymi, ak ležia na jednej priamke. Platí: A, B, C sú kolineárne <=> k є R, AC = k . AB


 

S lineárnou závislosťou resp. nezávislosťou sa stretávame v dvoch typoch príkladov.

 

  1. ak máme iba zistiť závislosť / nezávislosť daných vektorov

  2. ak máme zistiť hodnoty číselných koeficientov tak, aby dané vektory spĺňali podmienku lineárnej závislosti


 

 

Použitá literatúra:

 

RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách

Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA

vlastné poznámky