Pre úpravu výrazov s mocninami potrebujeme ovládať základné vzťahy a pravidlá:

 

  1. Sčitovanie výrazov s mocninami:

     

  • sčítať môžeme iba mocninové výrazy s rovnakým základom a rovnakým exponentom


 

  1. Odčitovanie výrazov s mocninami

     

  • odčítať môžeme iba mocninové výrazy s rovnakým základom a rovnakým exponentom


 

Pr: a3 + 4b5 + (8a3 - 5b5) – 3a5 = 9a3 - b5 – 3a5


 

  1. Násobenie výrazov s mocninami:

     

  • násobíme iba také mocninové výrazy, ktoré majú rovnaký základ.

  • základ opíšeme a exponenty spočítame


 

  1. Delenie výrazov s mocninami:

     

  • delíme iba také mocninové výrazy, ktoré majú rovnaký základ.

  • základ opíšeme a exponenty odčítame


Pr. 5x36 . 2y8 . 5xy = 50 x37 y9

Pr. (5x36 . 2y8 ) : 5xy = 2 x35 y7

 

 

  1. Umocňovanie výrazov s mocninami

     

  • umocňujeme výrazy s rovnakým základom

  • základ opíšeme a exponenty vynásobíme


Pr. (5x8)3 = 53 . x8.3 = 125 x24


Pozn.: Tieto pravidlá používame pre mocninové výrazy s číselným resp. premenným exponentom.

 

 

Pr. Zjednodušte dané výrazy:


a) a3x + 3a3x = a3x (1 + 3) = 4. a3x

 

- môžeme použiť vynímanie pred zátvorku – mocninu s rovnakým základom a exponentom vyberieme pred zátvorku a číselné konštanty spočítame v zátvorke

- prostredný krok môžeme robiť v hlave – urýchli sa výpočet


 

b) a3x + 3a2x = nemá riešenie


- tento príklad nemôžeme vypočítať i napriek rovnakému základu, ale v príklade sú rôzne exponenty 3x a 2x


 

c) 5x3 – 3x2 + 4x4 – x3 – 2x2 – x + 1 = 4x4 + 5x3 – x3 – 3x2 – 2x2 – x + 1 = 4x4 + 4x3–x2 – x + 1


- tento príklad môžeme počítať z hlavy ale postup je taký, že odčítavame, spočítavame číselné koeficienty pri mocninách s rovnakým základom a exponentom


 

d) (x + y)x – (x – y)y – (x +y) y – (x – y) x = ?


1. spôsob – roznásobením zátvoriek:

 

(x + y)x – (x – y)y – (x + y) y – (x - y) x = x2 + xy – xy + y2 – xy - y2 – x2 + xy = 0


 

2 . spôsob – vynímaním pred zátvorku – rovnaké sú výrazy v zátvorkách

 

(x + y)x – (x – y)y – (x + y) y – (x - y) x = (x + y)(x – y) – (x – y)(y + x) = 0


  • výber spôsobu je na žiakovi, ktorý sa mu zdá jednoduchší.


 

e) 72abx / 84 aby = ?


72abx / 84 aby = /:12 ab = 6x / 7y


- delíme najväčším spoločným deliteľom čísel 72 a 84 a spoločnými premennými

- pri zlomkoch ( lomených výrazoch) je nutné určiť podmienky:

 

a, b , x , y ≠ 0


 

f) (1 + x) / (1 – x) – (1 – x) / (1 + x) – x(4 – x) / (1 – x2) = ?


(1 + x) / (1 – x) – (1 – x) / (1 + x) – x(4 – x) / (1 – x2) = [(1 + x). (1 + x) – (1 – x)(1 – x) –x(4 – x)] / (1 – x)(1 + x) = [1 + 2x + x2 – 1 + 2x - x2 – 4x + x2] / (1 – x)(1 + x) = x2 / (1 – x2)


- lomené výrazy upravíme na spoločný menovateľ, následne upravíme čitateľ, sčítame, odčítame členy v čitateli

- musíme určiť podmienky riešiteľnosti


1 – x ≠ 0                  1 + x ≠ 0                     1 – x2 ≠ 0

       x ≠ 1                         x ≠ -1                            x ≠ ±1


 

 

Zopakujme si:


  1. Zjednodušte výrazy:

  1. 28a2 + 14b + 6b2 – 39a2 + 9b =

  2. x2 + y3 - 5x2 + 3y3 +2x2 -8 =

  3. 8ab3 . 2a2b2.(-3a3b) =

  4. 4(x – y + z) – 2(x + y – z) -3(-x – y – z) =

  5. 4a(5b – 2a) – 4(7a2 – 3ab) – 2a(3a – 3b) =

  6. (a2b3)2 + (2a2)2y2 - (a2y)2 – a4(b6 + 1) =

  7. (x – y) / xy – (z – y) / yz + (x + z) / xz =

  8. x / (x2 – 4) . (x + 2) / 3x =

  9. 3 / (a + 1) + a / (a2 – 1) – 2 / (a – 1) =

  10. 6x3b3 / 25y4 . (-15y / b2) =   



Použitá literatúra:
Vlastné poznámky
www.wikipedia.org
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
F. Vejsada – F. Talafous – Sbírka úloh z matematiky pro gymnasia