Riešené príklady z kombinatoriky

Vypracovala: Mária Martinkovičová

Poznámka: Pri príkladoch z kombinatoriky je dôležité porozumenie textu, často sa v takýchto príkladoch objavujú „háčiky“ práve pri zisťovaní, ako textu žiak rozumie, nejde len o to, či vie počítať a používať vzorce.

Majme dané číslice 2, 4, 8, 9. Koľko dvojciferných čísel môžeme z nich vytvoriť, za predpokladu, že číslice sa môžu opakovať?

Z tabuľky vidíme, že počet hľadaných dvojíc je 16. K takémuto výsledku sa možno dopracovať aj úvahou: ak dvojíc, ktoré majú začiatočnú číslicu 2 sú štyri, potom všetkých dvojíc bude štyrikrát viac, pretože na prvých miestach vo dvojiciach sa musia vystriedať všetky 4 číslice zo zadania.

Koľko možných rôznych letov sa dá uskutočniť medzi Krakowom, Bruselom, Amsterdamom, Viedňou, Prahou, Istanbulom a Rímom (viď mapku)? Letecké spojenie medzi dvoma mestami považujte za jeden let.

Riešenie:

Máme zistiť počet všetkých dvojíc zo siedmych miest. Pritom nezáleží na poradí – tam a späť je jeden let.

Úlohu môžeme riešiť napr. tak, že si do mapky zaznačíme všetky možné lety alebo úvahou:

Máme 7 rôznych miest, potrebné lety medzi mestami môžeme nazvať „každý s každým“, na poradí nezáleží. Názvy miest nie sú podstatné; mestá si označme číslicami od 1 do 7, potom jednotlivé lety budú („-“ znamená „medzi mestami“; kombinácia čísel napr. 1 – 7 a 7 – 1 sa považuje za jednu, preto 7-1 už nezapíšeme):

Medzi Krakowom, Bruselom, Amsterdamom, Viedňou, Prahou, Istanbulom a Rímom možno uskutočniť celkovo 21 rôznych letov.

Koľko zápasov sa odohrá na majstrovstvách sveta v hokeji v prípade že:

• v každej zo skupín (A, B po 8 mužstiev) hrá každý s každým jeden zápas bez odvety, čím sa určí číselné poradie v každej skupine (1. – 8.)

• Mužstvo, ktoré sa v  skupine umiestnilo na 1. mieste, odohrá zápas s mužstvom z 4.miesta, mužstvo z 2.miesta s mužstvom 3. miesta (platí pre každú skupinu zvlášť)

• Víťaz zo zápasu „1-4“ v A-skupine odohrá zápas s víťazom duelu „1-4“ B-skupiny, rovnako víťaz zápasu mužstiev umiestnených na 2. a 3. mieste v každej skupine („2-3“ A; „2-3“ B)

• Následne si zahrá „víťaz s víťazom“ a „porazený s porazeným“

Riešenie:

Postupujeme ako v predchádzajúcej úlohe. V každej základnej skupine prebehnú zápasy:

1-2, 1-3, 1 -4, 1-5, 1-6, 1-7, 1-8

V ďalšej častiach sa odohrajú 4 , 2 a 2 zápasy. Teda, spolu sa na MS odohrá 56 + 4 + 2 + 2, teda 64 zápasov.

Dvaja turisti prišli na chatu, ktorá má štyri izby. Koľkými spôsobmi sa môžu ubytovať, za predpokladu, že neodmietajú byť spolu na jednej izbe?

Riešenie:

Označme si izby rímskymi číslicami I – IV a do tabuľky si zapíšeme možné ubytovanie turistov v izbách:

Turisti sa môžu v izbách ubytovať desiatimi rôznymi spôsobmi.

Rado by si pod stromček želal tieto darčeky: telefón, tablet, bicykel, encyklopédiu, gitaru a fotoaparát. Rodičia však povedali, že si môže vybrať len dva darčeky. Koľko rôznych dvojíc darčekov môže Rado pod stromček dostať?

Riešenie:

Potom nasledujúce kombinácie darčekov môžu byť:

EF

T.j.: existuje 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 rôznych kombinácii darčekov.

Koľko štvorciferných čísel bez opakovania cifier možno vytvoriť z čísel 1, 2, 3 a 4? Zapíš všetky možnosti.

Riešenie:

Ak bude na prvom mieste číslica 1, sú možné tieto kombinácie:

1234, 1243

Teraz na 1. miesto umiestnime číslicu 2 a napíšeme možné kombinácie:

2134, 2143

Na prvé miesto dáme číslicu 3:

3124, 3142

Ak bude na prvom mieste 4:

4123, 4132

Zo 4 číslic možno vytvoriť 24 rôznych štvorciferných čísel, pričom v žiadnom štvorcifernom čísle nie sú dve číslice rovnaké.

Otázky:

1.Koľko rozličných náhrdelníkov môžeme získať, ak na nitku navlečieme 4 modré a 2 biele koráliky?

Literatúra:

Vlastné zdroje