Vypracovala: Mária Martinkovičová
Poznámka: Pri príkladoch z pravdepodobnosti je dôležité porozumenie textu, často sa v takýchto príkladoch objavujú „háčiky“ práve pri zisťovaní, ako textu žiak rozumie, nejde len o to, či vie počítať a používať vzorce.
Do školy chodí 200 žiakov. 50 z nich má 0 súrodencov, 50 pochádza z rodiny s 2 deťmi, 72 z rodiny s 2 deťmi. 3 a viac súrodencov má 28 žiakov. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybraný žiak má práve dvoch súrodencov?
Riešenie
Vieme, že pravdepodobnosť nejakej udalosti je A = k/n, kde n je počet všetkých možností, k je počet priaznivých možností. Teda, v našom prípade je počet priaznivých možností 72 (počet detí, ktoré majú 2 súrodencov); všetkých možností je 200.
Teda pravdepodobnosť, že náhodne vybraný žiak bude mať presne dvoch súrodencov je:
A = 72/200 = 0,36
A = 36 %
Jana má 11 spolužiačok a 15 spolužiakov. K Vianociam vyrobila pre všetky dievčatá v triede prívesok s jabĺčkom, pre chlapcov s kladivkom a pre učiteľku s dreveným krížikom. Ak by spolužiačke sediacej vedľa nej dala ako prvej vybrať z tašky prívesok, pričom by mala zaviazané oči, aká je pravdepodobnosť, že si vyberie práve prívesok určený pre dievčatá? Koľko žiakov je v triede?
Riešenie
Žiakov v triede je 15 chlapcov + 12 dievčat (vrátane Jany), t.j. 27 žiakov. Ak urobila prívesky pre všetky dievčatá, to znamená, že aj sebe, t.j. vrátane prívesku pre pani učiteľku spolu 28 príveskov.
Potom pravdepodobnosť výberu dievčenského prívesku je 12 : 28 = 3 : 7.
V peňaženke sú jedno a dvoj- eurové mince. Dvojeurových je 5 kusov. Koľko by muselo byť jednoeurových, aby pravdepodobnosť vytiahnutia dvojeurovej mince bola ¼?
Riešenie:
Opäť vychádzame zo vzorca pre výpočet pravdepodobnosti udalosti A = k/n, pričom k = 5 a n je 5 + x (x = počet 1 € mincí). Teda, pri náhodnom „zalovení“ v peňaženke môžeme vytiahnuť ktorúkoľvek z 5 + x kusov mincí.
5 . 4 = 5 + x x = 15
Počet 1€ mincí by musel byť 15 kusov.
Ak máme 5 úsečiek, ktorých dĺžka je 3 cm, 5 cm, 7 cm, 9 cm a 11 cm, aká je pravdepodobnosť, že z trojice náhodne vybratých úsečiek budeme môcť zostrojiť trojuholník?
Riešenie:
Zo zadaných dĺžok možno vytvoriť tieto trojice: 3 - 5 - 7 3 - 5 - 9 3 - 5 - 11
3 - 7 - 9 3 -7 -11
3 - 9 - 11 5 - 7 - 9 5 - 7 - 11 5 - 9 - 11 7 - 9 - 11
Vieme, že pre strany trojuholníka musí platiť trojuholníková nerovnosť: súčet dĺžok dvoch ľubovoľných strán je väčší ako dĺžka tretej strany, teda, trojuholník možno zostaviť z týchto trojíc:
3 - 5 - 7
3 - 7 - 9 3 - 9 - 11 5 - 7 - 9 5 - 7 - 11 5 - 9 - 11 7 - 9 - 11 A nemožno zostrojiť z: 3 - 5 - 9; 3 - 5 - 11 a 3 - 7 - 11
Ak teda A = k/n, tak v našom prípade je k (počet priaznivých možností) 7 a n = 10 (počet všetkých možných trojíc).
Teda pravdepodobnosť, že z vybranej trojice je možno zostrojiť trojuholník je A = 7/10.
Na hodine matematiky povedala pani učiteľka, že pôjdu odpovedať postupne všetci dvadsiati žiaci, pričom poradie si majú určiť sami. Žiaci sa však nevedeli dohodnúť, kto pôjde prvý a v akom poradí pôjdu odpovedať. Preto sa rozhodli, že budú žrebovať. Na lístočky napísali čísla od 1 do 20. Ako prvý žreboval žiak Adam. Aká je pravdepodobnosť, že pôjde Adam odpovedať medzi prvými piatimi?
Riešenie:
Aby išiel Adam odpovedať medzi prvými piatimi, musel by si vytiahnuť lístok s číslom 1, 2, 3, 4 alebo 5. T.j., priaznivých možností je 5, všetkých 20:
Pravdepodobnosť, že Adam pôjde odpovedať medzi prvými piatimi je 1 : 4.
Ak hodím dvoma hracími kockami naraz, aká je pravdepodobnosť, že na oboch kockách padnú rovnaké čísla? Riešenie:
Na oboch kockách je 6 čísel, teda, počet kombinácii ktoré môžu padnúť je 6 x 6, t.j. 36. Počet výsledkov, ktoré vyhovujú zadaniu je 6 (teda dve jednotky, dve dvojky alebo dve trojky atď.). Počet priaznivých možností je 6, počet všetkých možností 36. Teda:
Pravdepodobnosť, že na dvoch kockách padne rovnaké číslo je 1 : 6, t.j. približne 16%.
Jožko 20 krát po sebe hodil hracou kockou. Padnuté čísla v jednotlivých hodoch ukazuje tabuľka. Aká je relatívna početnosť udalosti „padla štvorka“? Celkový počet náhodných pokusov N – hodov kockou je 20, počet priaznivých udalostí (t.j. keď „padla štvorka“) je 3. Teda:
Relatívna početnosť udalosti „padla štvorka“ je 15%.
Otázky:
-
Ak máme 7 úsečiek, ktorých dĺžka je 2 cm, 3 cm, 8 cm, 5 cm, 7 cm, 9 cm a 11 cm, aká je pravdepodobnosť, že z trojice náhodne vybratých úsečiek budeme môcť zostrojiť trojuholník?
-
Ak hodíme dvakrát po sebe mincou, aká je pravdepodobnosť, že v oboch prípadoch nám padne znak?
Literatúra:
Začiatok formulára
Spodná časť formulára
http://www.matweb.cz/pravdepodobnost http://forum.matweb.cz/ www.goblmat.eu
vlastné zdroje
Monitor 9 – matematika 2006 - 2011