DEF: Faktoriál kladného celého čísla n označuje súčin všetkých kladných celých čísel menších alebo rovných n.


n! = n . (n- 1) . (n – 2) . ...... . 2 . 1


Zapisuje sa n! a číta sa „n faktoriál“


 

Napr.

 

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

 

12! = 12 . 11 . 10 . 9 . ...... . 2 . 1



Pr. 1. Zjednodušte číselné výrazy s faktoriálom

 

  1. 8! / 4! = ?

     

1. spôsob - Neefektívny. Nevhodný kvôli dlhému vypisovanie celého súčinu, pri veľkých číslach nemožné vypísať celého súčinu

 

8! / 4! = 8.7.6.5.4.3.2.1 / 4.3.2.1 = 8.7.6.5 = 1680


 

2. spôsob – úprava na najväčší spoločný faktoriál


8! / 4! = 8.7.6.5.4! / 4! = 8.7.6.5 = 1680

 

  1. 82! / 80! = ?

 

82! / 80! = 82.81.80! / 80! = 82.81 = 6642

 

  1. (80! + 81!) / 80! = ?

 

(80! + 81!) / 80! = (1.80! + 80!.81) / 80! = (1 + 81).80! / 80! = 82

 

  1. 3 / 4! + 8/5! = ?

 

3 / 4! + 8/5! = 3/ 4! + 8/4!.5 = (3.5 + 8)/ 4!.5 = 23 / 4! . 5 = 23 / 5!


 

Pozn: Pri úprave číselných výrazov s faktoriálmi postupujeme ako pri úprave obyčajných číselných výrazov, akurát berieme do úvahy definíciu faktoriálu.

 

Využívame úpravu na spoločný menovateľ, počítanie so zátvorkami, ...


 

 

Pr.2. Uprav výrazy s premennou s faktoriálmi

 

  1. n! / (n-2)! = ?

 

n! / (n-2)! = n.(n-1).(n-2)! / (n-2)! = n.(n-1) = n2 – n

 

  1. (n-1)! / (n+2)! = ?

 

(n-1)! / (n+2)! = (n-1)! / ((n+2).(n+1).n.(n-1)!) = 1/ (n+2).(n+1).n

 

 

Pr. 3. Zjednoduš dané výrazy

 

  1. 1/n! – n/(n+1)! = ?

 

1/n! – n/(n+1)! = 1/n! – n/(n!.(n+1)) = (n+1 – n) / (n!.(n+1)) = 1 / (n!.(n+1))

 

  1. (n+2)! / n! -2.(n+1)! / (n-1)! + n! / (n-2)! = ?

 

(n+2)! / n! -2.(n+1)! / (n-1)! + n! / (n-2)! = ((n+2)(n+1)n!)/n! – (2(n+1)n.(n-1)!) / (n-1)! + (n(n-1)(n-2)!) / (n-2)! = n2 + 3n + 2 - 2n2 – 2n + n2 – n = 2

 

  1. (n! . (n-1)!) / ((n-1)! . (n-2)!) = ?

 

(n! . (n-1)!) / ((n-1)! . (n-2)!) = n. (n-1) . (n-2)! / (n -2)! = n2 – n



Pozn: Pri zjednodušovaní, resp. úprave výrazov s premennými ktoré obsahujú faktoriál postupujeme podobne ako pri obyčajných výrazoch s premennými.


 

Používame:


  • úprava na spoločný menovateľ

  • odstránenie zlomkov, zátvoriek

  • použitie algebrických vzorcov, .....


 

Použitie úpravy výrazov s faktoriálmi:


  • úprava výrazov s kombinačným číslom

  • riešenie kombinačných rovníc

  • riešenie kombinácií, variácií, permutácií

  • pri použití pascalovho trojuholníka, binomickej vety

  • riešenie slovných kombinatorických úloh


 

 

Zopakujme si:

 

  1. Ako chápeme faktoriál a kde ho vieme využiť?

     

  2. Upravte číselné výrazy:

  1. 7! / 5!

  2. 6! / 8!

  3. 1/4! – 1/3!

 

  1. Uprav výrazy s premennými

  1. n! / (n – 3)!

  2. n! / (n-1) . n

  3. (n+1)! / n!

  4. (n-3)! / (n+3)!

  5. (n+1)! / n! – n! / (n-1)!

  6. 1/n! – 3/(n+1)! – (n2 – 4)/(n+2)!

  7. (n2 – 9) / (n + 3)! + 6/(n+2)! – 1/(n+1)!

  8. (n+6)! / (n+4)! – n! / (n-2)!

 



Použitá literatúra:
Vlastné poznámky
www.wikipedia.org
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
F. Vejsada – F. Talafous – Sbírka úloh z matematiky pro gymnasia