Zrezaný kužeľ

DEF: Zrezaný kužeľ je časť kužeľa nachádzajúca sa medzi podstavou a rovinou rovnobežnou s podstavou, ktorá prechádza kužeľom.

Inak povedané, je to „kužeľ s odrezaným vrcholom“ .

Vzniká rotáciou pravouhlého lichobežníka kolo kratšieho (kolmého) ramena. Rotáciou základní vznikajú podstavy a rotáciou druhého ramena vzniká plášť zrezaného kužeľa.

Povrch zrezaného kužeľa:

S = S₁ + S₂ + S_pl

S = πr₁² + πr₂² + π(r₁ + r₂).s = π (r₁² + r₂²) + π(r₁ + r₂).s

Objem zrezaného kužeľa

Pr.1. Vypočítajte povrch a objem zrezaného rotačného kužeľa s polomermi podstáv 8cm a 4cm, výškou 5cm.

r₁ = 8cm

r₂ = 8cm

v = 5cm

S, V = ?

Pre výpočet povrchu tohto zrezaného kužeľa budeme potrebovať vedieť veľkosť strany. Vypočítame ju pomocou Pytagorovej vety.

s = √(5² + 4²) = √41 = 6,4

S = S₁ + S₂ + S_pl

S = π (r₁² + r₂²) + π(r₁ + r₂).s

S = 3,14 (8² + 4²) + 3,14(8 + 4). 6,4

S = 3,14 . (64+16) + 3,14.12.6,4

S = 3,14 . 80 + 241,152

S = 251,2 + 241,152

S = 492,352 cm²

Pre výpočet objemu zrezaného kužeľa máme dané všetky potrebné hodnoty. Tie iba dosadíme do vzorca a vypočítame.

V = 1/3 . π.v .(r₁² + r₁.r₂ + r₂²)

V = 1/3 . 3,14.5.(8² + 8.4 + 4²)

V = 1/3 . 15,7 . 112

V = 574,9 cm³

Povrch daného zrezaného kužeľa je 492,352 cm² a jeho objem je 574,9 cm³.

Pr. 2. Povrch zrezaného kužeľa je 7693 cm², polomery podstáv sú 28cm a 21cm. Vypočítajte výšku kužeľa.

S = 7693 cm²

r₁ = 28cm

r₂ = 21cm

v = ?

- zo vzťahu pre výpočet povrchu zrezaného kužeľa vypočítame dĺžku strany kužeľa.

S = π (r₁² + r₂²) + π(r₁ + r₂).s

7693 = 3,14 (28² + 21²) + 3,14(28 + 21).s

7693 = 3,14 . 1225 + 153,86 . s

7693 = 3846,5 + 153,86 . s

3846,5 =153,86 . s

s = 25 cm

- potom vypočítame pomocou Pytagorovej vety výšku kužeľa.

v = √(25² - 7²) = 24 cm

Výška daného zrezaného kužeľa je 24 cm.

Zopakujme si:

1. Charakterizujte vznik zrezaného kužeľa.

2. Popíšte jednotlivé prvky zrezaného kužeľa.

3. Ako vypočítame povrch a objem zrezaného kužeľa.

4. Povrch zrezaného rotačného kužeľa so stranou s = 13 cm je S = 510π cm². Urči polomery podstáv, keď ich rozdiel dĺžok je 10cm.

5. Zrezaný rotačný kužeľ má podstavy s polomermi r₁ = 8 cm, r₂ = 4 cm a výšku v = 5 cm. Aký je objem kužeľa, z ktorého zrezaný kužeľ vznikol?

6. Daný je zrezaný kužeľ vysoký 30 cm s priemerom dolnej podstavy 10 cm a polomerom hornej podstavy 2 cm. Aký uhol zviera plášť s podstavou?

7. Daný je kužeľ s polomerom dolnej podstavy 5 cm a hornej podstavy 2 cm. Uhol, ktorý zviera plášť s podstavou je 75°. Vypočítaj objem tohto útvaru.

8. Zhora otvorená nádrž má tvar zrezaného rotačného kužeľa, ktorý stojí na menšej podstave. Objem nádrže je 465 m³, polomery podstáv sú 4 m a 3 m. Vypočítajte hĺbku nádrže.

9. Povrch zrezaného rotačného kužeľa je S = 7697 m², priemery podstáv sú 56 m a 42 m. Vypočítajte výšku telesa.

Použitá literatúra: