Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová


 

 

Variácie rozdeľujeme do dvoch skupín:


  1. Variácie bez opakovania

  2. Variácie s opakovaním


 

 

  1. Variácie bez opakovania


DEF: Variácie k – tej triedy z n prvkov bez opakovania sú usporiadané k – tice vytvorené z n prvkov, pričom sa žiadny prvok v k- tici neopakuje; . t.j z n prvkov vyberáme k prvkov, na ich poradí záleží a prvky sa neopakujú.


Zápis: V(k,n)

 

Počet V(k,n) = n . (n-1).(n-2). ..... . (n-k+1) = n! / (n-k)!


 

Vysvetlenie vzorca:


  • na prvú položku v k-tici máme na výber zo všetkých n prvkov,

  • na druhú položku v k-tici už máme o jeden prvok menej, lebo je už použitý na prvej položke, preto (n−1),

  • na tretiu položku v k-tici máme na výber už o dva prevky menej (n−2) .. to sú už tie dva prvky položené na prvej a druhej pozícii,...atď

  • na k-te miesto v k-tici už ostane na výber (n−k+1) prvkov, podľa kombinatorického pravidla súčinu, tieto možnosti spolu vynásobíme.

  • po úpravách dostávame jednoduchší vzorec:


V(k,n) = n! / (n-k)!


n, k є N, k ≤ n


 

  1. Variácie s opakovaním:


DEF: Variácie k – tej triedy z n prvkov s opakovaním sú usporiadané k – tice tvorené z n prvkov a prvky sa môžu v k – tici ľubovoľne opakovať; t.j. z n prvkov vyberáme k prvkov, na ich poradí záleží a prvky sa opakujú.


Zápis: V´(k,n)

 

Počet: V´(k,n) = nk

 

n, k є N


 

Pr.1. Koľkými spôsobmi možno z 30 členov organizácie zvoliť predsedu, podpredsedu a pokladníka?


Riešenie:


n = 30 – počet všetkých členov

k = 3 – počet prvkov, ktoré vyberám


- na poradí záleží, keďže je presne určené, kto má aký post zastávať

- prvky sa nesmú opakovať – keďže jeden člen nemôže zastávať dve funkcie

- z toho všetkého nám vychádza, že pôjde o variácie tretej triedy z 30 prvkov a bez opakovania


V(k,n) = n! / (n-k)!

V(3,30) = 30! / (30-3)!

V(3,30) = 30.29.28.27! / 27!

V(3,30) = 24 360


Zvoliť troch členov môžeme 24 360 spôsobmi.


 

Pr.2. Koľko rôznych vrhov možno urobiť štyrmi kockami so stenami označenými jednou až šiestimi bodkami?


Riešenie:


n = 6 počet všetkých členov

k = 4– počet prvkov, ktoré vyberám

 

- na poradí záleží

- prvky sa môžu opakovať – keďže jedno číslo môže byť hodené na viacerých kockách

- z toho všetkého nám vychádza, že pôjde o variácie štvrtej triedy z 6 prvkov a s opakovaním


V´(k,n) = nk

V´(4,6) = 64

V´(4,6) = 1296


Môžeme urobiť 1296 vrhov kockami.



 

Použitá literatúra:


Marta Rácová – MATEMATIKA prehľad stredoškolského učiva

Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite – MATEMATIKA

www.wikipedia.org

vlastné poznámky