Konštrukčné úlohy – riešené príklady

Vypracovala: Mária Martinkovičová

Zostroj trojuholník KLM, kde m = 6,9 cm, v_k = 5,9 cm, v_l = 4,6 cm.

Riešenie:

Prvým krokom pri konštrukčných úlohách je náčrt podľa zadania.

Po náčrte nasleduje rozbor – kedy si „ujasníme“ za akých podmienok by daný trojuholník existoval: V našom prípade, ak trojuholník (viď zadanie, náčrt) existuje, päty výšok v_k a v_l musia ležať na Tálesovej kružnici nad priemerom KL. Bod P musí byť od bodu K vzdialený 5,9 cm, t.j. musí ležať na kružnici, ktorej stred je v bode K a jej polomer je 5,9 cm. Bod P´ musí ležať na kružnici so stredom v bode L a polomerom 4,6 cm.

Teraz nasleduje samotná konštrukcia:

Postup konštrukcie:

1. KL; |KL| = 6,9 cm

2. S; S je stred úsečky KL

3. Tálesová kružnica T_k nad priemerom KL

4. k₁; (K; r = 5,9 cm)

5. k₂; (L; r = 4,6 cm)

6. P; P = k₁ ∩ T_k

7. P´; P´= k₂ ∩ T_k

8. Polpriamky KP´ a LP

9. M; M = KP´ ∩ LP

10. Δ KLM

Konštrukcia:

Po konštrukcii nasleduje skúška – či „sedia“ veľkosti daných prvkov: Strana KM zostrojeného trojuholníka je požadovanej dĺžky podľa 1. bodu konštrukcie. Uhly KP´L a LPK sú pravé, pretože body P a P´ ležia na Tálesovej kružnici nad priemerom KL. Úsečky KP a LP´ sú výškami, pričom majú požadované dĺžky, (|KP|= 5,9 cm a |LP´|´= 4,6 cm), - body P a P´ patria kružniciam k₁ a k₂.

Záver: Vo zvolenej polrovine má úloha jediné riešenie.

Zostroj trojuholník KLM kde: m = 5,9 cm, t_m = 4,9 cm, v_m = 3,9 cm.

Riešenie:

Dané máme:

m = 5,9 cm

Náčrt:

Postup konštrukcie:

1. Zostrojíme úsečku KL; |KL| = 5,9 cm

2. p; p // KL (3,9 cm) [narysujeme priamku p, rovnobežnú s úsečkou KL, pričom vzdialenosť medzi úsečkou KL a priamkou p je 3,9 cm]

3. S; (označíme bod S = stred úsečky KL)

4. k; k(S; r = 4,9 cm) [kružnicu k so stredom v bode S a polomerom 4,9 cm]

5. M; M = k ∩ p [bod M, leží na prieniku kružnice k a priamky p]

6. Δ KLM a KLM₁

Konštrukcia:

Skúška: Zadané prvky trojuholníka KLM a KLM₁ majú dané veľkosti.

Záver: V danej – zvolenej – polrovine má úloha dve riešenia.

Zostroj lichobežník ABCD, ak je dané: a = 9 cm, v = 4 cm, c = 4 cm, α = 60°

Riešenie:

Náčrt:

Postup konštrukcie:

1. AB; |AB| = 9 cm

2. p; p || AB (4 cm)

3. Uhol BAZ; |˂BAZ| = 60°

4. D; D = p ∩ AZ

5. k; k(D; r = 4 cm)

6. C; C = k ∩ p

7. Lichobežník ABCD

Konštrukcia:

Skúška: Dané prvky lichobežníka majú požadované veľkosti.

Záver: Vo zvolenej polrovine má úloha dve riešenia.

Otázky:

1. Zostroj trojuholník KLM, ak je dané: k = 4,5 cm, l = 6 cm a v_m = 4 cm.

2. Sú dané dve rôznobežné priamky k a l. Na priamke k leží bod K, rôzny od priesečníkov k a l. Zostroj kružnicu dotýkajúcu sa priamok k a l v bode K.

3. Zostroj štvoruholník KLMN, ak je dané: k = 3,1 cm, l = 3,6 cm, c = 5,1 cm, α = 91° a γ = 136°.

Literatúra:

Vlastné poznámky

http://mucirna.chytrak.cz/

Koreňová, L.: Zvládni prijímacie skúšky z matematiky ľahšie a úspešnejšie., Aktuell, Bratislava, 2007