Vypracovala: Mária Martinkovičová


 

 

Daných je 5 päťuholníkov (obr.) so stranami a, b, c, d, e., dĺžky strán sú v tabuľke. Určte, ktoré z dvojice 5-uholníkov sú podobné, zisti ich pomer a urč, kedy ide o zväčšenie alebo zmenšenie veľkosti strán jednotlivých päťuholníkov.


Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

 

Päťuholník č.

Strana v cm

a

b

c

d

e

1

6

3

5

5

3

2

6

4

8

8

4

3

9

4,5

7,5

7,5

4,5


 

Riešenie:

 

päťuholník 1 :  päťuholník 2:

 

a1/a2 = 6/6 = 1/1

b1/b2 = 3/4

c1/c2 = 5/8

d1/d2 = 5/8

e1/e2 = 3/4

 

pomery podobnosti nie sú rovnaké, t.j. päťuholník 1 nie je podobný s päťuholníkom 2


 

päťuholník 1 : päťuholník 3

 

a1/a3 =6/9 = 2/3

b1/b3 = 3/4,5 (x 2/2) = 6/9 = 2/3

c1/c3 = 5/7,5 (x 2/2) = 10/15 = 2/3

d1/d3 = 5/7,5 (x 2/2) = 10/15 = 2/3

e1/e3 = 3/ 4,5 (x 2/2) = 6/9 = 2/3

 

Päťuholník 1 a päťuholník 3 sú podobné. Koeficient podobnosti k = 2/3. Päťuholník 1 ˂ päťuholník 3, t.j., ide o zmenšenie.


 

 

päťuholník 2 : päťuholník 3

 

a2/a3 = 6/9 = 2/3

b2/b3 = 4/4,5

c2/c3 = 8/7,5

d2/d3 = 8/7,5

e2/e3 = 4/4,5

 

pomery podobnosti nie sú rovnaké, t.j. päťuholník 2 nie je podobný s päťuholníkom 3


 

 

Máme trojuholník KLM, ktorého strany majú dĺžky: k = 4,5 cm, l = 3 cm, m = 6 cm. Vypočítaj dĺžky strán ΔABC, ktorý je podobný s ΔKLM (sss), ak koeficient podobnosti k je 2/3.

 

Riešenie:

 

a = k (koeficient podobnosti) x k(strana Δ) = 2/3 x 4,5 = 9/3 = 3 cm

b = k x l =2/3 x 3 = 6/3 = 2 cm

c = k x m = 2/3 x 6 = 12/3 = 4 cm

ΔABC ˂ ΔKLM


 

 

Pod stĺpom deti postavili snehuliaka vysokého 1,65 m. Snehuliakov tieň je dlhý 135 cm. Tieň stĺpu má dĺžku 4,05 m. Aký vysoký je stĺp?

 

Riešenie:


Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

Trojuholníky sú podobné podľa vety uu, t.j.:

 

k = 4,05/1,35 = 3

h = 1,65 x 3 = 4,95 m

 

Stĺp je vysoký 4,95 m.


 

 

Rozhodni, či rovnoramenné trojuholníky ABC a DEF sú podobné. Základňa c = |AB| = 24 cm, vc = 16 cm, základňa f = |DE| = 72 cm, |DF| = 60 cm. V prípade, že sú podobné, urči pomer podobnosti, dĺžku strany |AC|, výšku na stranu DE (vf). Aké sú obsahy týchto trojuholníkov a v akom pomere sú ich obsahy?


Riešenie:

 

Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

Obr.: Náčrt

 

Keďže ide o rovnoramenný trojuholník, platí, že dĺžka ramien je rovnaká, teda:

 

ΔABC :

 

a = b (|AC| = |BC|)= ?

vc =16 cm

c = |AB| = 24 cm

 

 

ΔDEF:

 

f = |DE| = 72 cm

e = |DF| = d = |EF| = 60 cm


 

Pre výšku rovnoramenného trojuholníka platí vzťah:

 

Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

 

t.j. z tohto vzťahu môžeme vypočítať veľkosť strany a (a teda i b) v ΔABC:

 

Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

 

Už poznáme veľkosti všetkých strán obidvoch trojuholníkov, teda, môžeme zistiť, či sú trojuholníky podobné – dáme do pomeru zodpovedajúce strany:

 

Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

 

Vidíme, trojuholníky ABC a DEF sú podobné, koeficient podobnosti k = 3.


Výšku vf vypočítame:


Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

 

Obsah rovnoramenného trojuholníka vypočítame:


Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

 

Pre obsahy podobných trojuholníkov platí:


S´ = k2 . S , teda:

SDEF = k2 . SABC = 32 . 192 = 1728 cm2


 

 

Otázky:

 

  1. Trojuholník KLM a CDE sú si podobné. Trojuholník KLM má obvod 10 dm. Dĺžky strán trojuholníka CDE sú väčšie postupne o 8, 14, 18 cm oproti stranám v trojuholníku KLM. Aké sú dĺžky strán v oboch trojuholníkoch?

  2. Zostroj trojuholníky KLM a ABC, ktoré sú si podobné, ak k = 5 cm, l = 6 cm, m = 8 cm, c = 3 cm.

 

 

 

Literatúra:

 

Vlastné poznámky

Soósová, H.: Testy a úlohy z matematiky, Varia, Komárno, 2008

Koreňová, L.: Zvládni prijímacie skúšky z matematiky na strednú školu ľahšie a úspešnejšie, Aktuell, BA, 2007

Matematika pre 9. Ročník ZŠ, SPN, Bratislava, 2006