Objem a povrch telies – prijímačkové príklady - gymnáziá

Vypracovala: Mária Martinkovičová

V nasledujúcom učive o  objemoch telies nájdete riešené aj také príklady, ktoré sa reálne vyskytli v posledných rokoch na prijímačky na gymnázia. Ide o náročnejšie príklady, v prípade že sa pripravujete na skúšky na iný typ stredných škôl, pozrite si druhé učivo, ktoré obsahuje menej náročné „prijímačkové“ príklady.

Za 19 dní používania mydla tvaru kvádra sa toto zmenšilo o jednu tretinu zo svojich rozmerov. Ako dlho ešte mydlo vydrží (za predpokladu že bude používané tak často ako doteraz)?

Riešenie:

Obr.: Nové rozmery mydla tvoria dve tretiny z pôvodných rozmerov

Vieme, že objem kvádra, vypočítame: V = a.b.c. Nové rozmery mydla tvoria dve tretiny z pôvodných rozmerov. Teda, objem mydla po 19 dňoch používania vypočítame:

Nový objem je osem dvadsaťsedmín (8/27) oproti pôvodnému objemu mydla, t.j., z mydla sa vymydlilo 19 dvadsaťsedmín (19/27). Ak sa za 19 dní vymydlilo oproti pôvodnému objemu 19/27, z toho vyplýva, že za 1 deň sa vymydlila 1/27. Teda, na vymydlenie celého objemu mydla, t.j. 27/27 potrvá 27 dní.

Mydlo teda ešte vydrží (27 – 19 = 8) 8 dní.

Zásobník na vodu má tvar otvoreného valca. Hlboký je 15 dm, polomer kruhového dna je 2 m. Vypočítaj:

1. Koľko plechoviek antikoróznej farby bude treba na namaľovanie celého vnútra zásobníka, ak jedna plechovka postačí na natretie 5 m²?

2. Ak je v zásobníku toľko vody, že zmáča 50% povrchu, do akej výšky dosahuje hladina vody odo dna?

3. Je možné do plného zásobníka úplne ponoriť 5 metrov dlhú rovnú tyč? Odpoveď zdôvodni.

Riešenie:

r= 2 m

v = 15 dm = 1,5 m

1. Vieme, že povrch zásobníka (valca) vypočítame S = 2.πr² + 2πrv. Keďže zásobník je „otvorený“, má len jednu podstavu, do výpočtu povrchu celého zásobníka (valca) zahrnieme len jednu podstavu, t.j.:

S = πr² + 2πrv

S = 3,14 . 2² + 2 . 3,14 . 2 . 1,5

S = 31,4 m²

Počet plechoviek vypočítame pomocou trojčlenky:

1 plechovka (postačí na) .............................5 m²

x = 31,4 : 5 = 6,28

Na vymaľovanie vnútra zásobníka treba kúpiť 7 plechoviek antikoróznej farby.

2. Voda pokrýva polovicu povrchu (vnútra) zásobníka. Hodnotu povrchu si vypočítame ľahko, pomocou trojčlenky:

100% povrchu ....................................31,4 m²

Musíme si uvedomiť, že voda nesiaha do 50% výšky zásobníka, ale pokrýva 50% povrchu (povrch je tvorený dnom a stenou zásobníka).

S_50% = πr² + 2πrv´

15,7 = 3,14 . 4 + 2 . 3,14 . 2 . v´

15,7 = 12,56 + 12,56 v´

12,56 v´ = 3,14

v´ = 0,025 m = 2,5 dm = 25 cm

3. Dĺžku tyče, ktorú možno ponoriť do zásobníka, vypočítame pomocou Pythagorovej vety:

Obr.: Zásobník z profilu

x² = d² + v²

x² = 18,25

x = √18,25 = 4,272 m → 5 m tyč do zásobníka sa nedá celá ponoriť.

Protiľahlé bočné hrany pravidelného štvorbokého hranola spolu zvierajú uhol 70° a majú dĺžku 20 cm. Vypočítaj objem ihlanu.

Riešenie:

Výšku si vypočítame zo vzťahu pre kosínus uhla:

Dĺžku uhlopriečky u vypočítame:

Pre výpočet objemu ihlana potrebujeme poznať i dĺžku strany a, ktorú vypočítame pomocou Pythagorovej vety (na obrázku pravouhlý trojuholník v podstave ihlana, s preponou u a stranami a)

u² = a² + a²

Objem ihlana:

Otázky:

1.Z dreveného valca dlhého 50 cm bol vyrezaný kváder s rozmermi podstavy 5 cm a 1,2 dm (výška kvádra = výška valca). Aký najmenší priemer podstavy mohol mať valec v metroch? Koľko dm³ dreva bude tvoriť odpad?

2. Štvorec so stranou a = 5 cm sa otáča okolo jednej uhlopriečky. Vypočítaj objem telesa, ktoré takto vznikne. Výsledok uveď v dm³.

Použité zdroje:

vlastné zdroje