Objem telies – priímačkové príklady – ostatné SŠ

Vypracovala: Mária Martinkovičová

V kocke s objemom 1331 cm³ je umiestnená guľa tak, že sa dotýka všetkých jej strán. Koľko % objemu guľa zaberá?

Riešenie:

a = ?

r = ?

Keďže guľa sa dotýka všetkých stien kocky, potom jej priemer d je rovný dĺžke strany a, (a = d=2r). Z objemu kocky si najskôr vypočítame dĺžku strany a, a teda aj priemeru gule. Následne vypočítame objem gule)a porovnaním vypočítame % objemu, ktoré guľa v kocke zaberá.

d_gule = 11 cm, t.j. r_gule = 5,5 cm

1331 cm³ .....................100% objemu

696,56 cm³ ......................x % objemu

x = (696,56/1331) . 100 = 52,33%

Guľa zaberá 52,33% objemu kocky.

Zátka valcovitého tvaru má dĺžku 2,8 cm a priemer 35 mm. Hustota materiálu, z ktorého je zátka vytvorená, je 300 kg/m³. Vypočítaj hmotnosť zátky v gramoch. Výsledky zaokrúhľujte na stotiny.

Riešenie:

d = 35 mm = 3,5 cm → r = 1,75 cm

v = 2,8 cm

ρ = 300 kg . m^-3

V = ?

m = ?

V tomto príklade využijeme medzipredmetové vzťahy – v tomto prípade s fyzikou, resp. chémiou. Na to, aby sme sa dopracovali k správnemu výsledku, si musíme správne premeniť jednotky hustoty:

V = S_p . v

V = πr²v = 3,14 . (1,75)² . 2,8

V = 26,93 cm³

Hmotnosť zátky je 8,08 g.

Riešenie:

v =100 m = 10 cm

α = 30°

V = ?

Pre výpočet objemu kužeľa potrebujeme poznať i polomer podstavy r, tento vypočítame:

Samotný objem kužeľa:

Objem kužeľa je 3,14 litra.

Rozmery bazéna sú 640 cm a 4,5 m. Do akej výšky bude siahať voda v bazéne, ak bude 50 minút otvorený prítok, ktorým vyteká 90 litrov vody za 120 sekúnd? Výsledok uveď v cm a počítaj s predpokladom, že pred otvorením prítoku bol bazén prázdny.

Riešenie:

Ako v každom príklade, aj tu je dôležité, aby sme pracovali s rovnakými jednotkami, t.j. buď si všetky hodnoty vyjadríme v cm/cm³ , alebo v dm/ 1 liter = 1 dm³ alebo v m/m³.

a = 640 cm = 64 dm = 6,4 m

Rýchlosť prítoku 90 dm³/ 2 h = 45 dm³/1 min → za 50 min: 50 . 45 = 2250 dm³

2250 dm³ = 2,25 m³

Voda v bazéne bude siahať do výška 7,8 cm.

Vypočítaj výšku steny a a objem V pravidelného štvorbokého ihlana, ktorého rozmery sú: výška ihlanu h = 8 cm a dĺžka hrany podstavy l =12 cm. Objem uveď v dm³.

Výšku steny a vypočítame pomocou Pythagorovej vety, kde a je prepona pravouhlého trojuholníka, odvesny sú b, (veľkosť b = ½ l = 6 cm) a h:

a² = b² + h²

Objem ihlana:

V = 384 cm³ = 0,384 dm³

Trojboký kolmý hranol má podstavu tvorenú rovnostranným trojuholníkom s dĺžkou strany a = 0,8 dm. Výška hranolu je rovná polovici obvodu podstavy. Aký je objem hranola v cm³?

a = 0,8 dm

o_p = 3a = 2,4 dm

v = ½ o_p = 1,2 dm

V = ?

Pre objem tohto hranola platí vzťah: V = S_p . v. Podstava je rovnoramenný trojuholník, ktorého obsah počítame: (a . v_a):2, kde výšku si vypočítame pomocou Pytagorovej vety (obr.):

a² = (v_a)² + (1/2a)²

(v_a)² = 0,64 – 0,16 = 0,48

v_a = √0,48 = 0,69 dm

Otázky:

1. Aká je výška hranola, ak jeho podstavou je pravouhlý trojuholník s dĺžkou jednej odvesny 6 cm a obvodom podstavy 2,4 dm. Objem hranola je 0,432 dm³.

2. Vonkajší polomer betónovej rúry je 6 dm, vnútorný 50 cm, dĺžka rúry je 1,5 m. Aká je hmotnosť rúry, ak hustota betónu je 2100 kg/m³.

Literatúra:

Ištoková, A.: Riešené testy z matematiky na prijímacie skúšky na stredné školy., SPN – Mladé letá, 2007

Vlastné zdroje

www.e-matematika.cz

www.zkoušky-nanecisto.cz

www.studium.idnes.cz

Zdroje obrázkov (obrázky sú upravené):

https://sites.google.com/site/geometry4sage20112012/home/resources/star-lessons/geometric-solids-part-2

http://cnx.org/content/m22154/latest/