Operácie s intervalmi

DEF.: Intervalom označujeme množinu reálnych čísel, ktoré ležia medzi dvomi určenými bodmi označovanými ako hraničné body intervalu.

 

Napr.:

 

(3, 5) – je interval reálnych čísel nachádzajúcich sa na číselnej osi medzi číslami 3 a 5, ale bez týchto čísel.

‹3, 5› - je interval reálnych čísel nachádzajúcich sa na číselnej osi medzi číslami 3 a 5, ale vrátane týchto čísel.

 

Druhy intervalov:

 

1. otvorený interval

 

(a, b) a < x < b

 

 

 

2. uzavretý interval

 

‹a, b› a ≤ x ≤ b

 

 

3. Polootvorený / polouzavretý interval

 

‹a, b) a ≤ x < b

 

 

 

(a, b› a < x ≤ b

 

 

4. neohraničený interval

 

(a, ∞) a < x < ∞

 

 

 

‹a, ∞) a ≤ x < ∞

 

 

 

(-∞, b) -∞ < x < b

 

 

 

(-∞, b› -∞ < x ≤ b

 

 

5. Obojstranné neohraničený interval

 

(-∞, ∞) -∞ < x < ∞

 

 

a – nazývame dolná hranica intervalu

b – nazývame horná horná hranica intervalu

 

Môžeme ho znázorniť na číselnej osi úsečkou, polpriamkou alebo priamkou.

Pozn.: Intervaly 1, 2, 3 nazývame ohraničené intervaly a intervaly 4 a 5 neohraničené.

 

Keďže intervaly sú vlastne množiny čísel, dajú sa s nimi robiť množinové operácie

 

1. zjednotenie dvoch intervalov - je interval, ktorého čísla sú čísla buď prvého alebo druhého intervalu

 

(2,5) U (-1, 3) = (-1, 5)

 

 

2. prienik dvoch intervalov –je interval, ktorého čísla sú čísla nachádzajúce v prvom a zároveň v druhom intervale.

 

‹2,5) ∩ (-1, 3› = ‹2,3›

 

 

3. rozdiel dvoch intervalov – je interval, ktorého čísla sú čísla nachádzajúce sa v prvom intervale ale nenachádzajú sa v druhom intervale.

 

‹2,5) - (-1, 3› = (3,5)

 

 

4. doplnok intervalu – je interval, ktorého čísla sú čísla, čo nepatria do daného intervalu

 

(2,5›´ = (-∞, 25› U (5, ∞)

 

 

Pozn.: Najčastejšie sa budeme stretávať s zjednotením a prienikom intervalov, ktoré využívame pri riešení nerovníc, grafickom určení vlastností funkcií, a pod.

 

Pozn.: Zjednotenie alebo prienik nemusí byť interval.

 

Pr. Rieš:

 

1. (-∞, 0) ∩ ‹-3, ∞) = ?

 

(-∞, 0) ∩ ‹-3, ∞) = ‹-3, 0,)

 

 

2. (-3, ∞) U (0, ∞) = ?

 

(-3, ∞) U (0, ∞) = (-∞, ∞)

 

 

3. (-1,2; 9,7› ∩ ‹0; 11,2 ›= ?

 

(-1,2; 9,7› ∩ ‹0; 11,2› = ‹0; 9,7›

 

 

4. ‹-2, 7› - (0, 10) = ?

 

‹-2, 7› - (0, 10) = ‹-2, 0›

 

 

5. (0, 10) - ‹-2, 7› = ?

 

(0, 10) - ‹-2, 7› = (7, 10)

 

 

6. (-1,5; 6› - (-2; 7,5) = ?

 

(-1,5; 6› - (-2; 7,5) = {}

 

 

7. (0, 7›´ = ?

 

(0, 7›´ = (-∞,0› U (7, ∞›

 

 

Pr. Sú dané intervaly A = (-3,2›, B = (5, ∞), C = (-7, 5›, D = ‹5, 10). Určte: A ∩ B, A U B , A – C, D´, B – D, A ∩ B ∩ D, A U C U D.

A ∩ B = (-3,2› ∩ (5, ∞) = {}

A U B = (-3,2› U (5, ∞) = (-3,2› U (5, ∞)

A – C = (-3,2› - (-7, 5› = {}

D´ = ‹5, 10)´ = (-∞,5) U ‹10, ∞)

B – D = (5, ∞) - ‹5, 10) = ‹10, ∞)

A ∩ B ∩ D = (-3,2› ∩ (5, ∞) ∩ ‹5, 10) = ‹5, 10)

A U C U D = (-3,2› U (-7, 5› U ‹5, 10) = (-7, 10)

Pozn.: Môžeme urobiť aj operácie s viacerými intervalmi. Je potrebné vedieť realizovať operácie bez kreslenia číselných osí, čo nám následne bude urýchľovať riešenie úloh. Ale nie je zakázané ich kresliť.

Zopakujte si:

1. Čo je to interval?
2. Aké operácie môžeme realizovať s intervalmi? Definuj jednotlivé operácie:
3. Rieš:
a) (5, 7› U ‹-3, 6)
b) (-3,-2) ∩ (-∞, -2,5)
c) (7, 30) ´
d) (5, ∞) – (7, 30)
e) (-3, 7) U (5, 13)
f) (-10, 5› U ‹-1, 4›
g) (-∞, 2› ∩ (0, ∞) ∩ ‹-4, 2)
h) (-∞, 2› - ‹-4, 2)
i) (0, ∞) -‹-4, 2)
j) (-1, ∞)´

Použitá literatúra:

vlastné poznámky
www.wikipedia.org
Zdenek Vošický – krok za krokom k maturite MATEMATIKA