Podobnosť trojuholníkov

Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová

DEF.: Dva trojuholníky ABC a A´B´C´ sú podobné práve vtedy, keď existuje také kladné číslo k, že platí: ‌‌‌‌|A´B´| / |AB| = ‌‌‌‌|B´C´| / |BC| = ‌‌‌‌|A´C´| / |AC| = k, k є R⁺

Ozn.: ABC ~ A´B´C´

k – nazývame koeficient podobnosti

troj. ABC – je vzor

troj. A´B´C´ - je obraz

• Ak k = 1 , potom ide o zvláštny prípad podobnosti – zhodnosť

• Ak k > 1, potom hovoríme o zväčšení

• Ak 0 < k < 1, potom hovoríme o zmenšení

Vety o podobnosti trojuholníkov:

1. veta sss

Každé dva trojuholníky sú podobné, ak pomer dĺžok každých dvoch odpovedajúcich si strán sa rovnajú.

a/a´ = b/b´ = c/c´

2. veta sus

Každé dva trojuholníky sú podobné, ak majú ten istý pomer dĺžok dvoch odpovedajúcich si strán a zhodujú sa v jednom uhle nimi určenom.

b/´b = c/c´ ^ α = ά a pod.

3. veta usu

Každé dva trojuholníky sú podobné, ak sa zhodujú v dvoch uhloch.

α = ά ^β = β´

4. veta Ssu

Každé dva trojuholníky sú podobné, ak sa rovnajú pomery dĺžok dvoch strán a ak sa rovnajú veľkosti uhlov oproti väčšej z nich.

Vlastnosti podobnosti trojuholníkov:

1. Ak troj. ABC ~ troj. A´B´C´ s koeficientom k, potom troj A´B´C´~ troj ABC s koeficientom 1/k..

2. Podobné trojuholníky sa dajú zodpovedajúcimi výškami, alebo ťažnicami, alebo osami uhlov rozložiť na ďalšie podobné trojuholníky.

3. V podobných trojuholníkov sú pomery dĺžok zodpovedajúcich si výšok rovnaké ako pomery dĺžok odpovedajúcich si strán.

4. Obvody podobných trojuholníkov sú v rovnakom pomere ako pomery zodpovedajúcich si strán: O : O´ = a : a´ = b : b´ = c : c´ = k

5. Obsahy podobných trojuholníkov sú v rovnakom pomere ako pomery druhých mocnín dĺžok zodpovedajúcich si strán: S : S´ = a² : a´² = b² : b´² = c² : c´² = k

Využitie podobnosti trojuholníkov:

• v matematike sa používa vo výpočtových a konštrukčných úlohách, pri delení úsečiek v danom pomere, pri dôkazových úlohách, a pod.

• V praxi na zväčšovanie, resp. zmenšovanie geometrických útvarov, konštrukcií plánov a máp.

Euklidove vety pomocou podobnosti trojuholníkov:

Euklidova veta o odvesne:

Každé dva pravouhlé trojuholníky sú podobné, lebo sú pravouhlé a navyše sa zhodujú v jednom ostrom uhle ( teda zhodujú sa v dvoch uhloch – (uu)).

Euklidova veta o výške:

Každé dva pravouhlé trojuholníky sú podobné, lebo sú pravouhlé a navyše sa zhodujú v jednom ostrom uhle ( teda zhodujú sa v dvoch uhloch – (uu)).

Použitá literatúra:

vlastné poznámky

www.wikipedia.org

Zdenek Vošický – krok za krokom k maturite – MATEMATIKA

Marta Rácová – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov - MATEMATIKA