Guľa je rotačné teleso, ktoré vzniklo rotáciou kruhu okolo priamky prechádzajúcej jeho stredom. Stred tohto kruhu voláme stred gule, polomer tohto kruhu nazývame polomer gule.
Guľová plocha je hranica gule.
Ak si označíme stred gule S, polomer gule r, potom guľu G a guľovú plochu ϰ môžeme vyjadriť:
Vzorce pre výpočet objemu V a povrchu S gule už poznáme zo základnej školy:
Povrch gule (guľovej plochy; miera hranice gule):
S = 4πr2
Objem gule:
Pred odvodením vzorca pre výpočet objemu gule si zopakujeme Cavallieriho princíp: Ak pre dve telesá existuje taká rovina, že každá rovina s ňou rovnobežná pretína obidve telesá v rovinných útvaroch s rovnakým obsahom, tak sa objemy daných telies rovnajú.
Majme pravouhlý trojuholník ABC, s rozmermi |AB| = |AC| = r√2, ktorý necháme rotovať okolo priamky p, ktorá prechádza bodom A a je rovnobežná so stranou BC. Vznikne nám teleso(obr.1), ktoré môžeme dvoma kužeľmi doplniť na valec, preto pre jeho objem V platí:
Obrázok 1
Obrázok 2
Výpočet objemu gule – Cavallieriho princíp:
Pre jednoduchšie počítanie budeme pracovať s pologuľou. Pre výpočet jej objemu použijeme „náhradné“ teleso – polovicu rotačného valca, ktorý vznikol otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo priamky p (obr. 1). Polomer podstavy tohto valca je rovnako veľký, ako je veľkosť jeho výšky. Z tohto valca si „vyjmeme“ rotačný kužeľ s polomerom podstavy r a výškou tiež r.
Ak polguľu zrežeme v rovine rovnobežnej s jej podstavou, vznikne nám plocha rezu – kružnica (obr. 2 vľavo); v prípade náhradného telesa, to bude medzikružie (obr. 2 – v pravo). Vzdialenosť roviny rezu od podstavy si označíme h – vždy to bude hodnota medzi 0 a veľkosťou polomeru r.
Ak poznáme r a h, potom oble plochy rezu vieme vypočítať:
Obrázok 3
Obsah zelenej plochy rezu polgule (obr. 3) si najskôr vyjadríme: S1 = (r´)2π. Trojuholník s preponou r, a odvesnami h a r´, ktorý vznikol na obr. 3 je pravouhlý, t.j. platí pre neho Pytagorova veta: r2 = h2 + (r´)2. Z tohto vzťahu si vyjadríme veľkosť polomeru rezu r´ a dosadíme do vzorca pre výpočet veľkosti zelenej plochy rezu (polgule):
S1 = (r´)2π = (r2 – h2).π
Výpočet obsahu medzikružia S2, ktoré vzniklo zrezaním „náhradného telesa“(obr. 2 vpravo; obr. 4):
Obrázok 4
Obsah tohto medzikružia vypočítame ako rozdiel obsahu vonkajšej kruhovej plochy a vnútornej kruhovej plochy, t.j.:
S2 = π r2 - π h2 = (r2 - h2) π
Vidíme, že obsahy plôch rezu S1 a S2 sú zhodné. To platí pre každú hodnotu h medzi 0 a r. Podľa Cavalieriho princípu sa budú zhodovať i objemy oboch telies – pologule i „náhradného“telesa.
Vpologula = V“náhradné“ teleso = Vvalec – Vkužeľ = π r2 · r - (1/3) r2 · r = (2/3) πr3
Objem gule je rovný dvojnásobku objemu pologule, t.j.:
Guľový odsek
Guľovým odsekom nazývame prienik gule s polpriestorom, ktorého hraničná rovina obsahuje kruhový rez gule. Je to rotačné teleso, ktoré vznikne otáčaním kruhového odseku okolo jeho osi súmernosti.
Podstava guľového odseku – kruh, ktorý je prienikom guľového odseku s hraničnou rovinou polpriestoru, ktorý ho určuje.
Ak by sme viedli stredom gule priamku kolmo na podstavu, jej prienik s guľovým odsekom je úsečka – výška guľového odseku.
Hranica guľového odseku sa skladá z:
1. podstavy
2. guľového vrchlíku
Povrch (S) a objem (V) guľového odseku vypočítame podľa týchto vzorcov:
S = 2πrv
kde: v = výška guľového odseku; ρ = polomer podstavy guľového odseku; r = polomer gule, z ktorej guľový odsek vznikol.
Zopakujte si:
1. Definuj guľu, guľovú plochu a guľový odsek.2. Charakterizuj Cavalieriho princíp.
3. Vypočítaj hmotnosť Zeme. Hustota planéty je 5,52 g/cm3.
Použitá literatúra:
Odvárko O. a kol.: Matematika pre 2. ročník gymnázia, SPN, Bratislava, 1985Kubáček, Z.: Matematika pred 2. ročník gymnázií a 6. ročník gymnázií s osemročným štúdiom, druhá časť, Orbis Pictus Istropolitana, Bratislava, 2010
Kolektív autorov: Chystáte sa na maturitu? Matematika, Enigma, Nitra, 1995
http://www.walter-fendt.de/
http://www.walter-fendt.de/m14cz/kugelvolumen_cz.htm
vlastné poznámky
Zdroje obrazkov:
http://samjshah.com/2008/04/30/cavalieris-principle/ (upravený obrázok)Vlastné zdroje