Planimetria – základné pojmy

Vypracovala: Mária Martinkovičová

Planimetria:

• Je súčasťou geometrie

• Študuje geometrické útvary v  rovine E₂ = rovinná geometria

Pri štúdiu planimetrii stačí teda nakresliť geometrický útvar na papier. Body, ktoré sú súčasťou (prvkami) skúmanej roviny, označujeme písmenami veľkej abecedy, napr. A, B, C, .... Body určujeme ako priesečníky priamok, ktoré zas označujeme malými písmenami – p, z, q, a pod.

Majme dva body, C, a D. Každý bod zakreslíme krížikom, napr.

+ C; + D.

Ak by bod C splýval s bodom D, napíšeme: C = D. Ak sa nerovnajú, napíšeme C ≠ D.

Rovnako, o priamkach, napr. p a z platí: p = z – priamka p splýva s priamkou z, alebo, p ≠ z – t.j., priamky nie sú rovné, resp., priamka p nesplýva s priamkou z.

Priamka a jej časti

O priamke p v rovine E₂ platí:

Dvoma navzájom rôznymi bodmi prechádza jediná priamka.

Obr. č.1

Na priamke p leží bod Z, ktorý ju rozdeľuje na dve navzájom opačné polpriamky. Bod Z je spoločným začiatkom týchto polpriamok. Potom každý iný bod priamky Z bude vnútorným bodom práve jednej z týchto polpriamok. Vnútorným bodom polpriamky p je bod F ( obr. 2). Píšeme: |→ ZF; polpriamka k |→ ZF opačná

Obr. č.2

Nech sú body B ≠ C a B ∈ p, C ∈ p, potom úsečku BC definujeme ako prienik dvoch polpriamok, t.j. BC = |→ BC ∩ |→ CB. Body B a C sú krajné body, ostatné sú vnútorné body úsečky BC. Vzdialenosť bodov B a C je dĺžka úsečky – označujeme |BC|. Stred úsečky BC je bod S, ktorý ju delí tak, že platí: |AS| = |SB|. (obr. 3)

Obr. č.3

BC| ˂ |XY| - dĺžka úsečky BC je menšia ako dĺžka úsečka XY

|BC| > |XY| - úsečka BC je väčšia než úsečka XY

Ak úsečka BC má dĺžku b a úsečka XY má dĺžku x, súčet týchto úsečiek je úsečka s dĺžkou b + x; rozdielom úsečiek s dĺžkami b, x (b>x) je úsečka s dĺžkou b – x.

Priamka p rozdeľuje rovinu r na dve navzájom opačné polroviny. Priamka p je ich spoločnou hraničnou priamkou; patrí do obidvoch rovín. Každý iný bod roviny r, ktorý neleží na hraničnej priamke, je vnútorným bodom jednej polroviny. 

Obr. č.4 Polrovina s hraničnou priamkou p a vnútorným bodom T; označíme → pT. Pokiaľ hraničná priamka p = ↔ CD, môžeme túto polrovinu r označiť: →CDT

Uhol

Obr. č.5

Geometrický útvar voláme konvexný vtedy, ak úsečka spájajúca jeho dva ľubovoľné body, je podmnožinou tohto útvaru. 

Uhol AVB definujeme ako prienik polrovín →AVB a →BVA (obr. 6 – konvexný uhol – oranž.

Obr. č.6

Konvexné uhly podľa veľkosti:

1. Nulový uhol – ramená splývajúcej polpriamky; neobsahuje nijaké ďalšie body roviny.

2. Ostrý uhol – uhol menší ako pravý uhol

3. Pravý uhol – uhol, ktorý je zhodný s uhlom jemu susediacim

4. Tupý uhol - uhol, ktorý je väčší ako pravý uhol

5. Priamy uhol - uhol, ktorého ramená sú navzájom opačné polpriamky, takže spolu vytvárajú priamku.

Plný uhol – jeho vnútornými bodmi sú všetky ostatné body roviny.

Zhodné uhly – dva uhly sú zhodné práve vtedy, ak je možné jeden z nich premiestniť tak, že sa kryjú; pre zhodnosť uhlov používame znamienko .

Os uhla – polpriamka, ktorá má začiatok vo vrchole uhla a rozdeľuje uhol na dva zhodné uhly. 

1° = 60´= 3600´´

Grád - (1^g) – je 1/100 pravého uhla.

Radián je jednotkou oblúkovej miery. Označujeme 1 rad. 1 rad = 180°/π . 

Obr. č.7 Rozdelenie uhlov vzhľadom na ich polohu

Súčet uhlov s veľkosťami α, β je uhol s veľkosťou α + β.

Rozdiel uhlov s veľkosťami α, β (α > β) je uhol s veľkosťou α – β.

Vzájomná poloha dvoch priamok

1. Rôznobežky sú dve rôznobežné priamky, ktoré majú spoločný jeden bod, ktorý voláme priesečník P. Ak rôznobežné priamky p a r majú priesečník P, píšeme: p ∩ r = {P}, prípadne P∈ p ∩ r.

2. Rovnobežky sú dve rovnobežné priamky, ktoré nemajú žiadny spoločný bod. Ak priamky p a r sú rovnobežné, píšeme p || r.

3. Totožné priamky – totožné sú dve priamky, ktoré majú všetky body spoločné. Ak priamky p a r sú totožné, píšeme p ∩ r =p = r.

4. Kolmice – dve rôznobežné priamky, ktoré medzi sebou zvierajú uhol, ktorého veľkosť je 90°. Ak je priamka p kolmá k priamke r, píšeme: p ⊥ r. Pätou kolmice nazývame priesečník kolmice s danou priamkou.

Obr. č.8 Vzájomná poloha dvoch priamok

Otázky:

1. Čo je kritériom určenia vzájomnej polohy dvoch priamok ležiacich v rovine?

2. Prečo nie je útvar na obr. 5 v pravo konvexný?

Použitá literatúra:

Matematika pro gymnázia – Planimetrie, Praha, Prometheus

ftp://gw.oacb.cz/PROJEKT/MAT/2_R/planimetrie/PL1%20planimetrie-%20%FAvod,%20teorie%20U,Z.pdf

Červinková, P. - Čermák, P.: Zmaturuj! z matematiky, Didaktis, Bratislava, 2004

http://planimetrie.wu.cz/vzajemnapoloha.html

Zdroje obrázkov:

(upravené obr.) http://www.education.com/study-help/article/angle-word-problems/

http://www.mathactivities.net/lessons/parallel-and-perpendicular-lines.htm