Aký je rozdiel medzi týmito dvoma vetami?
-
„súťaže sa zúčastnilo 6500 gymnazistov z celého Slovenska“
-
„súťaže sa zúčastnilo približne 6500 gymnazistov z celého Slovenska“
Prvý výrok nám hovorí, že súťaže sa zúčastnilo práve – presne – 6500 gymnazistov.
„Približne 6500“ v druhej vete môže znamenať:
-
Zaokrúhlene na desiatky: počet gymnazistov na súťaži bol medzi 6495 a 6505
-
Zaokrúhlene na stovky: počet gymnazistov na súťaži bol medzi 6450 a 6550
Vidíme, že medzi zaokrúhlením na desiatky a na stovky je dosť veľký priestor – pri zaokrúhlení na stovky môže byť počet účastníkov značne rozdielny – údaj nie je príliš presný. Ak by napr. kuchárky, ktoré by mali na podujatí variť dostali rozkaz – uvarte približne 6500 obedov, pričom číslo je zaokrúhlené na stovky, mohlo by sa stať, že by im približne 100 obedov chýbalo alebo, 100 porcií by vyšlo nazmar. Z tohto hľadiska vidíme, že zaokrúhlenie na desiatky poskytuje presnejší údaj.
Ako sa zapisujú zaokrúhlené čísla?
Predchádzajúci zápis a vysvetlenie nám vystačí možno v bežnom živote. No pri písaní odborných publikácií by sme si tak nevystačili. Preto sa zaviedol pojem platné číslice a vedecký zápis čísel.
Vezmime si napríklad astronóma, ktorý pozoruje oblohu. Objaví teleso pohybujúce sa okolo Zeme, ktorého vzdialenosť od zeme je podľa výpočtov 39 888,9 km. Pre tlačovú agentúru toto číslo zaokrúhli na 40 000 a zapíše, že neznámy objekt sa pohybuje vo vzdialenosti 4,0 . 104 km od zeme. Týmto zdôraznil, že číslo 40 000 získal zaokrúhlením pôvodného čísla na tisícky, teda, že prvú nulu za číslicou 4 v čísle 40 000 ešte „treba brať vážne“. Číslice 4 a 0 uvedené v tomto zápise voláme platné číslice. Môžeme teda povedať, že ak číslo 40 000 vzniklo zaokrúhlením na tisícky, má dve platné číslice.
Ak by sme číslo 40 000 dostali zaokrúhlením na desaťtisícky, jeho vedecký zápis by sme napísali v tvare 4 . 104 (v zápise 40 000 je teda platná len jedna číslica a to číslica 4). Ak by sme 40 000 dostali zaokrúhlením na stovky, vedecky zápis by mal tvar 4,00 . 104 (v tomto prípade by v zápise čísla 40 000 boli platné tri číslice – číslica 4 a prvé dve nuly.)
Pojem „platné číslice“ sa používa rovnako i pri zaokrúhľovaní na desatiny, stotiny, tisíciny, desať tisíciny atď. Ak by sme si napr. prečítali, že množstvo dusitanov vo vzorke je 0,003 20 g/l a že v uvedenom výsledku sú tri platné číslice (3, 2, 0), vedeli by sme, že výsledok bol zaokrúhlený na stotisícíny.
Vedecky by sme zapísali: „Obsah dusitanov vo vzorke je 3,20 .10-3 g/l“.
Približné čísla ale nevznikajú len zaokrúhľovaním. V matematických vzorcoch sa často používa „π“, pričom pri rátaní dosádzame jeho miesto najčastejšie číslo 3,14. Hodnota 3,14 je však len približná, rovnako približná hodnota π je 3,14159265358979323846. Podľa Archimeda je približná hodnota π 22/7; ukázal že:
T.j. hodnota π je niekde medzi 3 celá 10/71 a 3 celá 1/7.
Ďalší spôsob ako môžu „vznikať“ približné čísla je napr. aritmetický priemer pri meraní nejakých hodnôt, napr. ak stanovujeme v analytickej chémii koncentráciu nejakej látky titrovaním, zvyčajne titrujeme minimálne 3x a výsledky výpočtov potom spriemerujeme čím dostaneme približnú koncentráciu. Čím viac meraní prevedieme, tým je hodnota presnejšia.
Absolútna chyba približného čísla je vzdialenosť medzi približným číslom a presným číslom. Absolútna chyba je vždy nezáporná.
Napríklad, ak výška postavy je presne 1,84 m (t.j. presná hodnota P = 1,84) a my by sme povedali, že výška postavy je približne 1,8 m (p = 1,8) – absolútna chyba by bola 1,84 – 1,8 = 0,04 m. Ak by sme povedali, že výška postavy je približne 1,85 m, v tomto prípade by absolútna chyba bola 0,01 m.
Zápis:
resp.:
znamená, že presná hodnota sa od približnej odlišuje najviac o 0,005. T.j. ak by v tomto prípade približná hodnota p bola 7,12, tak presná hodnota P leží iste medzi číslami 7,115 a 7,125.
Operácie s približnými číslami
Ak zrátame či napr. odčítame presné hodnoty čísiel, dostaneme i presné výsledky. No ak pracujeme s približnými číslami, je zrejmé, že nemôžeme súčtom či rozdielom približných čísel získať presné hodnoty. Čím viac nepresných čísel by sme sčítali, tým nepresnejšie hodnoty môžeme získať. Preto pri operáciách s približnými číslami používame tzv. odhad chyby súčtu a rozdielu dvoch približných čísel a odhad chyby súčinu presného a nepresného čísla.
Súčet približných čísel
Môžeme vyjadriť zápisom:
Slovne:
Ak (číslo a sa od presnej hodnoty nelíši o viac ako ∆a) a (číslo b sa od presnej hodnoty nelíši o viac ako ∆b) potom (=) súčet a + b sa od presnej hodnoty nelíši o viac ako ∆a + ∆b.
Pomocou pojmu „absolútna chyba“ môžeme uvedenú reláciu vyjadriť takto: Ak jeden zo sčítancov má absolútnu chybu najviac ∆a a druhý najviac ∆b, tak ich súčet má absolútnu chybu najviac ∆a + ∆b. T.j., pri sčítaní približných čísel sa odhady ich absolútnych chýb sčítajú.
Rozdiel približných čísel
T.j.: ak (číslo a sa od presnej hodnoty nelíši o viac ako ∆a) a (číslo b sa nelíši viac ako o ∆b od jeho presnej hodnoty) potom rozdiel a – b sa od presnej hodnoty nelíši viacej ako o ∆a + ∆b.
Všimnime si že i pri rozdiele približných čísel sa odhady ich absolútnych chýb sčítajú.
Súčin presného a približného čísla
T.j.: Ak (číslo a sa nelíši od presnej hodnoty viac ako o ∆) a b je presné číslo, potom súčin a a b sa líši od presnej hodnoty najviac o ∆.b.
Pomocou pojmu „absolútna chyba“ môžeme uvedenú reláciu vyjadriť nasledovne: Ak v súčine a . b má činiteľ a absolútnu chybu najviac ∆ a činiteľ b je presné číslo, potom absolútna chyba súčinu a . b nie je väčšia ako ∆ . b.
Súčin približného a presného čísla používame často pri výpočtoch v matematike, napr. pri výpočte obvodu kruhu, ak máme presne zadaný polomer (resp. priemer) a použijeme približnú hodnotu π = 3,14.
Zopakujte si:
1. Polomer kruhu je r = 1,7 cm. Vypočítajte jeho obvod dvoma spôsobmi: a) použijete približnú hodnotu π = 3,14 b) použijete približnú hodnotu π = 3,14159265358979323846. Porovnajte výsledky.2. Sčítajte približné čísla a = 3,156, ak ∆a = +/- 0,020 a b = 4,321, ak ∆b = 0,004.
3. Približné čísla z otázky 2 odčítajte.
Použitá literatúra:
Kubáček, Z.: Matematika pred 2. ročník gymnázií, 1. časť, Orbis Pictus Istropolitana, Bratislava, 2009http://cs.wikipedia.org/wiki/P%C3%AD_%28%C4%8D%C3%ADslo%29
vlastné poznámky