Také pokusy, ktorých výsledky sa môžu od jedného prevedenia pokusu k druhému meniť nazývame náhodné pokusy. Ich výsledky nezávisia len na predpísaných podmienkach, ale i na náhode. Príkladom náhodných pokusov sú napríklad ťahy športky, miešanie kariet, či pokusy, ktorých cieľom je presné stanovenie nejakej fyzikálnej konštanty.
Predpokladajme, že u každého náhodného pokusu sme schopní vopred vymenovať všetky jeho dosiahnuteľné výsledky tak, že sa vzájomne vylučujú – teda, ak nastane jeden, nemôže nastať druhý ale zároveň, jeden z vymenovaných výsledkov vždy nastane (a žiadny iný).
Množinu takto stanovených výsledkov voláme množinou všetkých možných výsledkov pokusov, označíme si ju Ω, (túto množinu budeme považovať za konečnú) a jej ľubovoľný prvok ω.
Vezmime si teraz za príklad pokus s množinou možných výsledkov Ω. Tento pokus prevedieme celkom n-krát, pre každý možný výsledok ω zaznamenáme, koľko pokusov skončilo práve týmto výsledkom – toto číslo – n(ω) – budeme volať početnosťou výsledku ω a podiel voči celkovému počtu výsledkov - n(ω)/n - relatívnou početnosťou výsledku ω v n pokusoch. Ak zrátame jednotlivé početnosti výsledkov, dostaneme n – t.j. počet všetkých výsledkov. Zrátaním relatívnych početností dostaneme číslo 1.
Ak má náhodný pokus m možných výsledkov, a ak sú tieto výsledky rovnako pravdepodobné, potom o každom z nich môžeme povedať, že má pravdepodobnosť 1/m. Napríklad, pri hádzaní kockou má každé zo šiestich čísel 1 – 6 šancu, že padne práve ono. Teda, pravdepodobnosť, že padne napr. práve „2“ je 1/6. Toto môžeme však povedať iba v prípade, že kocka nie je nejakým spôsobom upravená, a/alebo napr. nie je geometricky pravidelná a rovnakého zloženia. Ak by sme mali v rukách „falošnú kocku“, a chceli by sme určiť čo najpresnejšie pravdepodobnosť, s akou padne napr. „šestka“, museli by sme uskutočniť veľký počet hodov a zistenú relatívnu početnosť potom prijať za približnú hodnotu pravdepodobnosti, že „padne šestka“. Potom presnú hodnotu tejto pravdepodobnosti budeme považovať za neznámu konštantu, ktorá leží niekde blízko zistenej relatívnej početnosti.
Vyššie uvedené môžeme zhrnúť:
Pravdepodobnosť p (ω) výsledkov náhodných pokusov, s množinou možných výsledkov Ω, sú nezáporné čísla. Súčet týchto čísiel je = 1.
Pravdepodobnosť P javu A – P(A) – definujeme ako súčet pravdepodobnosti výsledkov priaznivých javov A. Túto definíciu môžeme vyjadriť nasledujúcim vzorcom:
V pokuse, ktorého všetky možné výsledky sú rovnako pravdepodobné, je pravdepodobnosť javu daná podielom počtu priaznivých výsledkov a počtu všetkých možných výsledkov, teda
P(A) = m(A) / m
Z uvedeného vyplýva, že:
Pravdepodobnosť nemožného javu je rovná nule: P(0) = 0, pravdepodobnosť istého javu je jedna: P(Ω) = 1 a že pre pravdepodobnosť ľubovoľného javu A platí: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Sčítanie pravdepodobností: Nech javy A, B sa vzájomne vylučujú, teda A ∩ B = 0, potom pravdepodobnosť zjednotenia dvoch navzájom sa vylučujúcich sa javov je rovná súčtu ich pravdepodobností.
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Vzorec platí i pre vylučujúce sa javy A, B, pretože pre ne je A ∩ B = 0, a teda P(A ∩ B) = 0 (viď príklad 5).
Príklady:
Príklad 1:
V triede je 32 žiakov, z ktorých na hodine dejepisu pôjdu traja odpovedať. Budú vybraný losovaním. Určte počet možných výsledkov losovania.
Riešenie:
- Ak by sme mali riešiť iba to, ktorí žiaci pôjdu odpovedať, tak možné výsledky losovania sú dané všetkými trojčlennými kombináciami z 32 prvkov, ich počet je:
- ak by sme mali určiť i to, v akom poradí pôjdu žiaci odpovedať, tak možné výsledky sú dané všetkými trojčlennými variáciami z 32 prvkov, ktorých je: 32 . 31 . 30.
Príklad 2:
Jano hodil 33x kockou, pričom mu padli tieto čísla:
3, 2, 5, 4, 2, 4, 5, 6, 6, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 5, 4, 5, 6, 5, 5, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 5, 5, 6. Určte početnosť a relatívnu početnosť jednotlivých prvkov.
Riešenie:
Najjednoduchšie je si zostaviť tabuľku. Zrátame, koľko krát padla 1, koľko krát 2, atď. S podobnými príkladmi sme sa stretali už na základnej škole. Počet hodov kockou = n = 33.
Ak zrátame relatívne početnosti, dostaneme číslo 1. Niekedy a relatívna početnosť vyjadruje i v %, potom by napr. v našom príklade dvojka padla v 24,24% prípadov.
Príklad 3:
a) Aká je pravdepodobnosť výhry v I. poradí stavených šiestich čísel?
b) Aká je pravdepodobnosť výhry v V. poradí?
Riešenie:
a) V športke je všetkých možností ťahu šiestich čísel
Mechanizmus losovania zabezpečuje, že všetky sú rovnako pravdepodobné. Ak si vsadím 6 čísel, pravdepodobnosť výhry v I. poradí je:
b) Výhru v V. poradí získame, ak 3 z vyžrebovaných čísel sa zhodujú s niektorými troma číslami z nášho tipu. Toto môže nastať 
spôsobmi, a ak ďalšie 3 čísla boli vybraté z nevsadených 43 čísel, čo môže nastať 
spôsobmi. Tieto spôsoby môžeme kombinovať a počet priaznivých výsledkov vydelíme počtom všetkých možných výsledkov, čím pre pravdepodobnosť výhry v V. poradí dostaneme:
Príklad 4:
K skúške používa vyučujúci stále rovnaký počet otázok, a to 20. Ak má každý študent možnosť výberu – vylosovania – 3 - zo všetkých, 20-tich otázok, aká je pravdepodobnosť, že dvaja študenti si
a) vylosujú tri rovnaké otázky
b) vylosujú otázky tak, že ani jednu nebudú mať rovnakú?
Riešenie:
a) všetkých možností vylosovania 3 otázok je 
Pravdepodobnosť, že si dvaja študenti vylosujú 3 rovnaké otázky je:
b) Ak si jeden študent vyberie ľubovoľné 3 otázky, druhému študentovi „zostane na výber“ už len 17 otázok; výber môže nastať 
spôsobmi.
T.j. pravdepodobnosť, že si dvaja študenti vyberú otázky, tak, že ani jednu nebudú mať rovnakú, je:
Príklad 5:
Hoďme dvoma kockami, žltou a červenou. Jav „na žltej kocke padne väčšie alebo rovné číslo ako 3“ označme „A“, jav „na červenej kocke padne číslo menšie alebo rovné 3“ – B. S akou pravdepodobnosťou nastáva jav A, jav B, A i B súčasne, jav A alebo jav B? Pozn.: Výrokom „A alebo B“ rozumieme „buď A alebo B, alebo A i B súčasne“.
Riešenie:
Možných a rovnako pravdepodobných výsledkov je 62 = 36:
(1, 1) (1, 2) (1,3) (1,4) (1,5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2,3) (2,4) (2,5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3,3) (3,4) (3,5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4,3) (4,4) (4,5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5,3) (5,4) (5,5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6,3) (6,4) (6,5) (6, 6)
Kde prvé číslo v dvojici znamená číslo na žltej kocke a druhé na červenej.
Javu A (že na žltej kocke padne číslo ≥ 3) je priaznivých 24 výsledkov (podčiarknuté), javu B 18 (zvýraznené), a javu A ∩ B 12 (zvýraznené + podčiarknuté). Z toho vyplýva:
P(A) = 24/36 = 2/3
P(B) = 18/36 = ½
P(A ∩ B) = 12/36 = 1/3
Teda:
Zopakujte si:
1. Medzi 20 študentkami je Alena a Zuzana. Z pomedzi seba majú vylosovať 3 študentov, ktorí sa zúčastnia plesu zadarmo. Aká je pravdepodobnosť, že medzi vylosovanými bude Zuzana alebo Alena?2. Aká je pravdepodobnosť, javu, že pri ťahu športky bude vytiahnuté aspoň jedno jednociferné číslo?
3. V kamióne je 1000 výrobkov 1. Triedy a 203 výrobkov druhej triedy. Náhodne vyberieme jeden výrobok. Aká je pravdepodobnosť, že vytiahnem výrobok 2. triedy?